آیا ممکن است جمع جذر سه عدد طبیعی که هیچ یک مربع کامل نیستند عددی گویا شود؟

Question

آیا ممکن است مجموع جذر سه عدد طبیعی غیر مربع کامل، عددی گویا باشد؟

تلاش خودم، برهان خلف:

$$\begin{align} & A=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\\ & \Longrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 = a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc})\in\mathbb{Q} \\ & \Longrightarrow B=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\in\mathbb{Q}\\ \end{align}$$

بعد از این خط چیز دیگری به ذهنم نمی‌رسد.

Answer 1

سلام. سوال جالبی مطرح کردید که نشان دهنده نبوغ شماست. اما جواب سوال شما "خیر" است. ممکن نیست مجموع جذر سه عدد طبیعی غیر مربع کامل عددی گویا شود. توجه کنید ممکن است جمع سه عدد گنگ عددی گویا شود. به طور مثال: ( {a} یعنی جزء اعشاری a )

$(\sqrt{2})+(\sqrt{3})+ (1-\{\sqrt{2}+\sqrt{3}\})$

ابتدا ثابت می کنیم $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ نمی تواند عددی گویا باشد. فرض می کنیم چنین است (برهان خلف) Q عددی گویاست.

$\sqrt{a}+\sqrt{b}=Q \Rightarrow \sqrt{a}=Q-\sqrt{b} \Rightarrow a=Q^2+b-2Q\sqrt{b}$

به دلیل آنکه $Q^2+b$ گویاست و $-2Q\sqrt{b}$ گنگ است حاصل جمع آنها گنگ خواهد بود پس طرف دیگر تساوی یعنی a نیز باید گنگ باشد درحالی که گویاست پس تناقض بوجود آمده است و خلاف فرض ثابت شد. (فرض این بود که $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ می تواند عددی گویا باشد.)

حال فرض می کنیم $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ می تواند عددی گویا باشد. Q عددی گویاست.

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=Q \Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}=Q-\sqrt{c} \Rightarrow a+b+2\sqrt{ab}=Q^2+c-2Q\sqrt{c} \Rightarrow \frac{Q^2+c-a-b}{2}=\sqrt{ab}+\sqrt{Q^2c}$

می دانیم $\frac{Q^2+c-a-b}{2}$ عددی گویاست پس آنرا با q نشان می دهیم. بنابراین

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=Q \Rightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{Q^2c}=q$

تساوی بالا چنین می گوید که $\sqrt{ab}+\sqrt{Q^2c}$ می تواند گویا باشد درحالی که ثابت کردیم ممکن نیست $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ نمی تواند گویا باشد. (می دانیم ممکن نیست $cQ^2$ هیچگاه نمی تواند مربع کامل باشد زیرا c نمی تواند مربع کامل باشد. اگر $ab$ مربع کامل باشد حاصل $\sqrt{ab}$ عددی گویا می شود و حاصل جمع آن با $\sqrt{Q^2c}$ که عددی گنگ است گنگ خواهد بود و اگر ab مربع کامل نباشد آنگاه ثابت کردیم $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ گویا نخواهد شد اگر a و b مربع کامل نباشد. و چون ab و $Q^2c$ هردو هر دو غیر مربع کامل هستند، پس $\sqrt{ab}+\sqrt{cQ^2}$ نمی تواند گویا باشد.)

به تناقض رسیدیم پس خلاف فرض ثابت شد (فرض کرده بودیم $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ می تواند گویا باشد.)

Comments

@مرتضی منظورتان از جزء اعشاری دقیقا چیست؟ هر چه که منظورتان است، شما با همان سه عددِ $\sqrt{1}$ و $\sqrt{3}$ و $1-(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ که سه عددی گنگ هستند به جمعِ ۱ می‌رسید و هیچ نیازی به چیز بیشتری ندارد.

---

ممنون متوجه شدم.
@mort اما شما نمیتوانید گنگ بودن ab + √Q²c√ را به اثبات قبل که حاصل a + √b√ عددی گنگ می‌شد را ربط دهید زیرا در آن قسمت b عددی طبیعی بود اما اینجا Q²c عددی گویاست و باید مجددا اثبات شود. همچنین مربع کامل نبودن Q²c نیز باید اثبات شود.