می توان ثابت کرد یک عدد اعشاری بی پایان گویا است اگر و فقط اگر از مرحله ای به بعد تکراری باشد.اینکه عددی اعشاری از مرحله ای به بعد تکراری گویاست ساده است.
حالا فرض کنید $x$ عددی اعشاری گویا باشد و $0< x< 1$ پس اعداد طبیعی $p$ و $q$ نسبت به هم اول وجود دارند که $x= \frac{p}{q} $
حالا دنباله $[x],[10x],[10^2x],...$ را در نظر بگیرید.بنابه الگوریتم تقسیم باقیمانده هر جمله این دنباله در تقسیم بر $q$ در مجموعه $0,1,2....,q-1$ قرار دارد.پس بنابه اصل لانه کبوتری اعداد طبیعی متمایز $m$ و $n$ وجود دارند که:
$10^mx-[10^mx]=10^{m+n}x-[10^{m+n}x]$
حالا قرار دهید:
$a_1=[10^{m+n}x]-[10^mx]=10^mx(10^n-1)$
آنگاه عدد طبیعی$a_2$ و $a_3$ که $0 \leq a_3< 10^n-1$ موجود است که:
$10^mx= \frac{a_1}{10^n-1}=a_2+ \frac{a_3}{10^n-1}=a_2+ \sum \frac{a_3}{10^{kn}}$
$ \Rightarrow 10^mx-a_2=0. \overline{b},b=a_3 \times0.000...01$
که در آن تعداد صفرها $n-1$ است.واز اینجا میتوان نتیجه گرفت که $x$ هم متناوب است.
حالا اگر $C=0.100100010000...=0.10010001000...a \overline{b_1b_2...b_m} $ آنگاه چون در عدد فوق ما مکانهایی مانند $10^n$ را داریم ($n$ را می توان به هر اندازه دلخواه در نظر گرفت)که با اعداد $0$ پر می شوند باید $0. \overline{b_1b_2...b_m}=0. \overline{00...0}=0 $ که این امکان ندارد.
$ \Box $
