آیا هر عدد گنگ جبری و غیر جبری را می توان به شکل کسر مسلسل نمایش داد؟

Question

آیا هر عدد گنگ را می‌توان به شکل یک کسر مسلسل نمایش داد؟ با نمایش برخی اعداد گنگ جبری مانند $\sqrt{2}$ به شکل کسر مسلسل آشنایی دارم. اما سؤالی که ذهن من را مشغول کرده این است که آیا هر عدد گنگ جبری و غیر جبری را می‌توان به شکل کسر مسلسل نمایش داد؟

Answer 1

بله دوست عزیز. همه اعداد حقیقی را که اعداد اصم مجذوری هستند، میتوان بصورت کسر مسلسل نشان داد. کتاب نظریه اعداد نیل اچ مک کوی ترجمه دکتر غلامحسین بهفروز و دکتر میرکمال میرنیا فصل ۵ صفحات ۱۱۲-۱۶۰ به کسرهای مسلسل اختصاص دارد و بطور کامل ثابت میکند که هر عدد گنگ $\sqrt{d}$ را میتوان به کسر مسلسل تبدیل کرد. کتاب روشهای جبر پرویز شهریاری جلد ۱ فصل ۹ صفحات ۲۴۵-۲۷۰ نیز به کسرهای مسلسل اختصاص دارد. continued fractions در ویکیپدیای انگلیسی هم الگوی مرتب ولی نامتناهی از کسر مسلسل اعداد $e$ و $\pi$ ارائه داده و لینک بلندبالایی از اعداد داخلی کسر مسلسل آنها را دراختیار گذاشته. برای تقریب اعداد متعالی در ماشین حسابها هم از این روش استفاده میشه که بسیار جالبه. ناگفته نماند که عدد $\pi$ چند الگوی کسر مسلسل داره که بعضی نامرتب و برخی مرتبند.

Comments

@ناصرـآهنگرپور صرفا یک نکته و آن اینکه نشان دادن اینکه عددهای به شکل $\sqrt{d}$ که $d$ عدد صحیح باشد و $\pi$ و $e$ را می‌توان به شکل کسر مسلسل نوشت، اثباتی برای اینکه تمام عددهای گنگ را می‌توان به شکل کسر مسلسل نوشت نمی‌شود.

---

@AmirHosein :
با درود به استاد عزیز. حق با شماست. بنده در جوابم کمی عجله کردم. در صفحه ۱۱۲ کتاب نظریه اعداد نیل اچ مک کوی که در جوابم اشاره شد، قید (فقط اعداد اصم مجذوری) ذکر شده که در جوابم از قلم افتاده است. در اسرع وقت آنرا اصلاح میکنم. از همراهی دوستانه تون ممنونم.