عددهای گنگ به شکل $\sqrt[n]{m}$ که هر دوی $m$ و $n$ طبیعی هستند را برای چه $n$هایی و چگونه می توان بر روی محور اعداد نمایش و رسم کرد؟

Question

عدد $\sqrt[4]{2}$ را چگونه می‌توان روی محور نمایش داد؟ اگر فرجهٔ رادیکال عدد طبیعی دیگری باشد چه؟ آیا هر عدد طبیعی‌ای که برای فرجه انتخاب کنیم، باز هم ترسیم ممکن است؟

Answer 1

اگه از قضیه زیر در هندسه استفاده کنید میتونید جواب سوالتونو خودتون بدید:

در یک مثلث قائم الزاویه مجذور ارتفاع وارد بر وتر برابر است با حاصلضرب پاره خط های ایجاد شده روی وتر.

یعنی در شکل زیر داریم: $(AD)^2=BD\times DC$

میدونید که ما میتونیم $\sqrt 2$ رو رسم کنیم. در امتداد آن پاره خط $1$ را رسم کرده و دایره ای به قطر پاره خط حاصل می کشیم. حالا از نقطه بین دو پاره خط یک عمود رسم میکنیم تا دایره را در نقطه ای مثل $A$قطع کند(شکل زیر را ببینید)

در اینصورت بنابر نکته بالا:

$$AD^2=\sqrt 2\times 1\Rightarrow AD=\sqrt[4] 2$$

Comments

من چند سال پیش تو یه کتاب خوندم که رسم ریشه های 2، فقط اونایی امکانپذیرن که فرجه اشون حتما توانی از دو باشه. سعی میکنم کتابشو رو حتما پیدا کنم.

---

فقط اونایی رسم میشه که فرجه توانی از $2$ باشه

---

سلام
اگه ممکنه این فایل رو برا من ایمیل کنید
بینهایت تشکر میکنم

---

ولی شما این عدد رو روی محور اعداد نشون ندادین، با تشکر

---

@NIMA+10
من فقط ایده رو گفتم دیگه بقیه ش ساده هست.
مثلا نقطه $D$ را مبدا محور اعداد بگیرید و محور اعداد را خط $DA$ بگیرید در اینصورت $A$ متناظر با $\sqrt[4]{2}$ خواهد بود.

Answer 2

سلام بله قابل رسم است. $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{\sqrt{2}} \Rightarrow a^2-b^2=\sqrt{2} \Rightarrow (a-b)(a+b)=k \frac{\sqrt{2}}{k}$

در تساوی بالا یک هم ارزی ایجاد می کنیم.

$a-b=\frac{\sqrt{2}}{k}, a+b=k \Rightarrow 2a=\frac{\sqrt{2}}{k}+k=\frac{k^2+\sqrt{2}}{k} \Rightarrow a=\frac{k^2+\sqrt{2}}{2k}, b= \frac{k^2-\sqrt{2}}{2k}$

به ازای k=1 نتیجه زیر حاصل می شود:

$a= \frac{1+\sqrt{2}}{2}, b=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

این نتیجه بدین معنی است که با رسم مثلث قائم الزاویه با وتر $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ و یکی از ساقهای $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$، ساق دیگر مقدارش برابر $\sqrt[4]{2}$ می شود.