به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
871 بازدید
در دانشگاه توسط amir h (150 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

ثابت کنید عدد $\pi$ گنگ است. یا همچنین اگر می‌توانید ثابت کنید عدد $\pi$ یک عدد متعالی است. راستش را بخواهید تا به حال از هرکس که این سوال را پرسیده‌ام جوابش را نمی‌دانسته. همچنین در کتاب‌های مختلفی به دنبال اثبات آن بوده‌ام. اما همین را بگویم که موفق به پیدا کردن اثبات آن نبودم‌ام لذا خواهشمندم به پرسش من پاسخ دهید.

توسط fardina (17,196 امتیاز)
ویکی پدیا چند اثبات برای این مطلب بیان کرده:
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
+1
@amir_h عنوان پرسش‌تان را خیلی بد نوشته‌اید. یک عدد غیرجبری (متعالی) به طور بدیهی گنگ هم هست. هیچ عدد متعالی‌ای نیست که گنگ نباشد. اثبات هم خیلی بدیهی است. یک عدد گویای $x=\frac{a}{b}$ را پاسخ معادلهٔ جبری درجهٔ یکِ $ax-b=0$ است پس جبری است و متعالی نمی‌تواند باشد. پس پرسش شما این نیست که ثابت کنید که یک عدد ناجبری عددی گنگ است. اگر این پرسش شماست که پاسخ آن بدیهی است و در یک جمله همین‌جا جواب دادم. پرسش شما این است که چرا عدد پی گنگ است و همینطور چرا متعالی. که البته اگر ثابت کنید یک عدد متعالی است، دیگر نیازی به ارائهٔ اثبات مجزایی برای گنگ بودنش نخواهدی داشت. ولی عکس آن درست نیست یعنی اگر ثابت کنید عددی گنگ است، چیزی در مورد متعالی بودنش اثبات نکرده‌اید. یک عدد گنگ ممکن است جبری باشد یا متعالی. عنوان پرسش‌تان را برایتان ویرایش کردم.
توسط amir h (150 امتیاز)
–1
اری.این اینکه بدیهی است اگر عددی متعالی باشد گنگ نیز هست.منظور من این است که اگر میتوانید ثابت کنید عدد پی متعالی است.دراین صورت گنگ بودن عدد پی نیز نتیجه میشود.میخواست بدانم تحصیلات شما چیست؟من خودم یازدهم ریاضی هستم.خوش بختم
توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
+1
@amir_h بدیهی یا غیربدیهی متن را قبلا نادرست نوشته بودید. در مورد مشخصات فردی می‌توانید به صفحهٔ شناسه (پروفایل) کاربر نگاه بیندازید و همینطور برای معرفی خودتان می‌توانید صفحهٔ شناسهٔ خودتان را ویرایش کنید و میزان تحصیلات و مکان و خلاصه‌ای در مورد خودتان قرار دهید. در دیدگاه‌ها باید مطالب مربوط به پست بنویسید مثلا اگر در پاسخی چیزی را متوجه نمی‌شوید در زیرش مشکل‌تان را می‌پرسید و غیره. برای گفتگو با یک کاربر دیگر می‌توانید از «پیام خصوصی» استفاده کنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $\pi$ عددی گویا باشد یعنی $\pi=\frac ab$ که در آن $a,b\in\mathbb N$.

چندجمله ای های زیر را برای عدد صحیح مثبت $n$ تعریف می کنیم:

$$f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}\\ F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-...+(-1)^nf^{(n)}(x)$$

$n!f(x)=x^n(a-bx)^n$ یک چندجمله ای با ضرایب صحیح است و جملات آن بر حسب $x$ حداقل درجه $n$ دارند، در واقع اگر از بسط دوجمله ای استفاده کنید داریم:

$$n!f(x)=x^n(a-bx)^n\\ =x^n\left(a^n-\binom{n}{1}a^{n-1}bx+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2x^2-\cdots +(-1)^{n-1}\binom{n}{n-1}ab^{n-1}x^{n-1}+(-1)^nb^nx^n\right) $$

بنابراین با ضرب $x^n$ در پرانتز متوجه می شوید که $n!f(x)$ یک چند جمله ای با ضرایب صحیح است که توانهای $x$ از $n$ شروع شده تا $2n$ در واقع چند جمله ای مثل $k_0x^n+k_1x^{n+1}+\cdots +k_nx^{2n}$

در اینصورت واضح است که $n!f(0)=0$ و لذا $f(0)=0$

همچنین اگر از طرفین رابطه اخیر مشتق بگیریم چون کمترین توان $x$ در هر جمله حداقل $n$ است پس تا مشتق $(n-1)$-اُم داریم $f^{(j)}(0)=0$

همچنین چون بزگترین توان $x$ برابر $2n$ است پس برای $j$ بزرگتر از $2n$ داریم $f^{(j)}(x)=0$

از طرفی اگر $j$ بین $n$ و $2n$ باشد ضریب $x^j$ در $n!f(x)$ را $K$ در نظر بگیریم در اینصورت چون $j\geq n$ پس وقتی $j$ بار مشتق بگیریم آن جمله ای که توانش $j$ بود پس از $j$ بار مشتق به صورت $n!f^{(j)}(0)=j!K$ است و لذا $f^{(j)}(0)=\frac{j!}{n!}K$ که عددی صحیح است چون $j\geq n$.

بنابراین برای هر $j$، $f^{(j)}(0)$ عددی صحیح است.

همین نکته برای $f^{(j)}(\pi)$ هم برقرار است چرا که $f(x)=f(\frac ab-x)$.

بنابراین برای تابع $F$ نیز $F(0)$ عددی صحیح می شود چرا که جمع $f^{(j)}(0)$ هاست که ثابت کردیم همگی صحیح اند.

اگر دو بار از تابع $F$ مشتق بگیریم و با $F$ حمع بزنیم داریم:

$$\begin{align}F^{(2)}(x)+F(x)&=f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)+f^{(6)}(x)-...+\cdots+(-1)^nf^{(2n+2)}(x)\\ &+f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)+\cdots +(-1)^nf^{(2n)}(x)\\ &=f(x)+(-1)^nf^{(2n+2)}(x)\end{align}$$

اما چون برای$j$ بزرگتر از $2n$ مشتق $f^{(j)}(x)=0$ صفر است پس $ F^{(2)}(x)+F(x) =f(x)$

مشتق عبارت $F'(x)\sin x-F(x)\cos x$ را حساب کنیم داریم:

$$\require{cancel}\begin{align} (F'(x)\sin x-F(x)\cos x)'&=F^{(2)}(x)\sin x+\cancel{F'(x)\cos x}-\cancel{F'(x)\cos x}+F(x)\sin x\\ &=(F^{(2)}(x)+F(x))\sin x\\ &=f(x)\sin x\end{align}$$

بنابراین

$$\int_0^\pi f(x)\sin x=(F'(x)\sin x-F(x)\cos x)|_0^\pi=F(\pi)+F(0)$$

بنابراین $\int_0^nf(x)\sin x$ عددی صحیحی است چرا که جمع اعداد صحیح$F(0),F(\pi)$ است.

اما حالا نشان می دهیم که می توانیم $n$ را طوری انتخاب کنیم که $0< \int_0^\pi f(x)\sin x< 1$

در واقع در فاصله $0$ تا $\pi$ می دانیم که $0< \sin x\leq 1 $ و همچنین در فاصله $(0, \pi)$ با تعیین علامت واضح است که $a-bx$ مثبت است (توجه کنید $x=\frac ab=\pi$ ریشه آن است.) بنابراین $n!f(x)=x^n(a-bx)^n$ در این فاصله مثبت است. بنابراین برای $0< x< \pi$:

$$0< f(x)\sin x\leq f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}< \frac{\pi^na^n}{n!}$$

و با انتگرال گیری از طرفین از صفر تا $\pi$ داریم:

$$0\leq \int_0^\pi f(x)\sin x < \frac{\pi^{n+1}a^n}{n!}$$

از آنجا که $\lim \frac{\pi^{n+1}a^n}{n!}=0$ می توان $n$ را طوری انتخاب کرد که $\frac{\pi^{n+1}a^n}{n!}< 1$ و لذا $0< \int_0^\pi f(x)\sin x< 1$ که با عدد صحیح بودن $\int_0^\pi f(x)\sin x$ در تناقض است لذا فرض ما که $\pi$ گویا باشد باطل است.

منبع: https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183510788


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...