فرض کنید \pi عددی گویا باشد یعنی \pi=\frac ab که در آن a,b\in\mathbb N.
چندجمله ای های زیر را برای عدد صحیح مثبت n تعریف می کنیم:
f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}\\
F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-...+(-1)^nf^{(n)}(x)
n!f(x)=x^n(a-bx)^n یک چندجمله ای با ضرایب صحیح است و جملات آن بر حسب x حداقل درجه n دارند، در واقع اگر از بسط دوجمله ای استفاده کنید داریم:
n!f(x)=x^n(a-bx)^n\\
=x^n\left(a^n-\binom{n}{1}a^{n-1}bx+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2x^2-\cdots +(-1)^{n-1}\binom{n}{n-1}ab^{n-1}x^{n-1}+(-1)^nb^nx^n\right)
بنابراین با ضرب x^n در پرانتز متوجه می شوید که n!f(x) یک چند جمله ای با ضرایب صحیح است که توانهای x از n شروع شده تا 2n در واقع چند جمله ای مثل k_0x^n+k_1x^{n+1}+\cdots +k_nx^{2n}
در اینصورت واضح است که n!f(0)=0 و لذا f(0)=0
همچنین اگر از طرفین رابطه اخیر مشتق بگیریم چون کمترین توان x در هر جمله حداقل n است پس تا مشتق (n-1)-اُم داریم f^{(j)}(0)=0
همچنین چون بزگترین توان x برابر 2n است پس برای j بزرگتر از 2n داریم f^{(j)}(x)=0
از طرفی اگر j بین n و 2n باشد ضریب x^j در n!f(x) را K در نظر بگیریم در اینصورت چون j\geq n پس وقتی j بار مشتق بگیریم آن جمله ای که توانش j بود پس از j بار مشتق به صورت n!f^{(j)}(0)=j!K است و لذا f^{(j)}(0)=\frac{j!}{n!}K که عددی صحیح است چون j\geq n.
بنابراین برای هر j، f^{(j)}(0) عددی صحیح است.
همین نکته برای f^{(j)}(\pi) هم برقرار است چرا که f(x)=f(\frac ab-x).
بنابراین برای تابع F نیز F(0) عددی صحیح می شود چرا که جمع f^{(j)}(0) هاست که ثابت کردیم همگی صحیح اند.
اگر دو بار از تابع F مشتق بگیریم و با F حمع بزنیم داریم:
\begin{align}F^{(2)}(x)+F(x)&=f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)+f^{(6)}(x)-...+\cdots+(-1)^nf^{(2n+2)}(x)\\
&+f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)+\cdots +(-1)^nf^{(2n)}(x)\\
&=f(x)+(-1)^nf^{(2n+2)}(x)\end{align}
اما چون برایj بزرگتر از 2n مشتق f^{(j)}(x)=0 صفر است پس F^{(2)}(x)+F(x) =f(x)
مشتق عبارت F'(x)\sin x-F(x)\cos x را حساب کنیم داریم:
\require{cancel}\begin{align} (F'(x)\sin x-F(x)\cos x)'&=F^{(2)}(x)\sin x+\cancel{F'(x)\cos x}-\cancel{F'(x)\cos x}+F(x)\sin x\\
&=(F^{(2)}(x)+F(x))\sin x\\
&=f(x)\sin x\end{align}
بنابراین
\int_0^\pi f(x)\sin x=(F'(x)\sin x-F(x)\cos x)|_0^\pi=F(\pi)+F(0)
بنابراین \int_0^nf(x)\sin x عددی صحیحی است چرا که جمع اعداد صحیحF(0),F(\pi) است.
اما حالا نشان می دهیم که می توانیم n را طوری انتخاب کنیم که 0< \int_0^\pi f(x)\sin x< 1
در واقع در فاصله 0 تا \pi می دانیم که 0< \sin x\leq 1 و همچنین در فاصله (0, \pi) با تعیین علامت واضح است که a-bx مثبت است (توجه کنید x=\frac ab=\pi ریشه آن است.) بنابراین n!f(x)=x^n(a-bx)^n در این فاصله مثبت است. بنابراین برای 0< x< \pi:
0< f(x)\sin x\leq f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}< \frac{\pi^na^n}{n!}
و با انتگرال گیری از طرفین از صفر تا \pi داریم:
0\leq \int_0^\pi f(x)\sin x < \frac{\pi^{n+1}a^n}{n!}
از آنجا که \lim \frac{\pi^{n+1}a^n}{n!}=0 می توان n را طوری انتخاب کرد که \frac{\pi^{n+1}a^n}{n!}< 1 و لذا 0< \int_0^\pi f(x)\sin x< 1 که با عدد صحیح بودن \int_0^\pi f(x)\sin x در تناقض است لذا فرض ما که \pi گویا باشد باطل است.
منبع: https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183510788
