می توان ثابت کرد یک عدد اعشاری بی پایان گویا است اگر و فقط اگر از مرحله ای به بعد تکراری باشد.اینکه عددی اعشاری از مرحله ای به بعد تکراری گویاست ساده است.
حالا فرض کنید x عددی اعشاری گویا باشد و 0< x< 1 پس اعداد طبیعی p و q نسبت به هم اول وجود دارند که x= \frac{p}{q}
حالا دنباله [x],[10x],[10^2x],... را در نظر بگیرید.بنابه الگوریتم تقسیم باقیمانده هر جمله این دنباله در تقسیم بر q در مجموعه 0,1,2....,q-1 قرار دارد.پس بنابه اصل لانه کبوتری اعداد طبیعی متمایز m و n وجود دارند که:
10^mx-[10^mx]=10^{m+n}x-[10^{m+n}x]
حالا قرار دهید:
a_1=[10^{m+n}x]-[10^mx]=10^mx(10^n-1)
آنگاه عدد طبیعیa_2 و a_3 که 0 \leq a_3< 10^n-1 موجود است که:
10^mx= \frac{a_1}{10^n-1}=a_2+ \frac{a_3}{10^n-1}=a_2+ \sum \frac{a_3}{10^{kn}}
\Rightarrow 10^mx-a_2=0. \overline{b},b=a_3 \times0.000...01
که در آن تعداد صفرها n-1 است.واز اینجا میتوان نتیجه گرفت که x هم متناوب است.
حالا اگر C=0.100100010000...=0.10010001000...a \overline{b_1b_2...b_m} آنگاه چون در عدد فوق ما مکانهایی مانند 10^n را داریم (n را می توان به هر اندازه دلخواه در نظر گرفت)که با اعداد 0 پر می شوند باید 0. \overline{b_1b_2...b_m}=0. \overline{00...0}=0 که این امکان ندارد.
\Box