آیا عدد لگاریتمی که گنگ است را به شکل رادیکال یک عدد گویا میتوان نوشت؟ برای نمونه آیا $\log_{10}(26)$ نمایشی شبیه به $\sqrt{2}$ دارد؟

Question

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

آیا هر عدد گنگی به شکل رادیکال یک عدد گویا است؟ برای نمونه $\sqrt{2}$ یک عدد گنگ است. اکنون عدد گنگ $\log_{10}(26)$ را می‌توان به شکل $\sqrt[n]{a}$ نوشت که $n$ عددی طبیعی و $a$ عددی گویا باشد؟

Comments

@Amin.mz ببخشید منظورتان را نمی‌فهمم. $log26 $ مگر خودش عددی گنگ نیست؟! منظورتان این است که به صورتی دیگر نوشته شود؟ مثلا به صورت رایکالی؟! یا نمایی و یا ... خب مثلا یک جواب به پرسش شما می‌تواند $log2+log13 $ باشد که اولا با $log26 $ برابر است و در ضمن عددی گنگ است...

---

@Sina Moradi ببخشید منظورم به صورت عددی رادیکالی است.

---

@Amin.mz به ویرایشی که برایتان انجام دادم نگاه کنید. اگر فقط رادیکالِ یک چیزی بودن بخواهید، خب بنویسید جذرِ توان دویِ خودش. پس احتمالا شرط گویا بودنِ زیر رادیکال را در نظر دارید که پرسش بدیهی نشود و همین‌طور ابهام قبلی‌تان که تصور داشتید عددهای گویا نمایش کسری از اعداد صحیح (این قسمت درست است) و اعداد گنگ نمایش رادیکالی از اعداد صحیح یا گویا دارند (که این قسمت نادرست است) را می‌پرسد. برای مثال بدیهی که هر عدد گنگی نمایش رادیکالی ندارد می‌توانید عددهای متعالی مانند $e$ و $\pi$ را نگاه کنید، اگر نمایش رادیکالی داشته‌باشند آنگاه باید ریشهٔ معادلهٔ چندجمله‌ای با ضرایب گویا یعنی $x^n-a=0$ باشند که با متعالی بودنشان در تناقض می‌شود. پس هر عدد گنگی، نمایش رادیکالی ندارد.

Answer 1

فرض کنیم $\sqrt{r}=\log_{10}^{26}$. چون $1<\log_{10}^{26}<2$ پس اگر $r$ بخواهد طبیعی باشد، تنها میتواند $3$ باشد. یعنی $\log_{10}^{26}=\sqrt{3}$. اما $$10^{\sqrt{3}}>10^{1.5}=10\sqrt{10}>26$$

Comments

اگر r عددی گویا نظیر $ \frac{1001}{500} $ باشد در این حالت بررسی نکردید.