$ ||.||_\infty $ یک نرم روی $L_\infty $ نیست زیرا از $||f||_\infty=0 $ نمی توان نتیجه گرفت $ f=0$ . اما $||.||_\infty $ یک نیم نرم است یعنی:
- $ ||f||_\infty\geq 0 $ واضح است.
$ f=0$ آنگاه $ ||f||_\infty=0 $ واضح است.
$ ||cf||_\infty =|c|||f||_\infty $ واضح است.
$ ||f+g||_\infty\leq ||f||_\infty+||g||_\infty$ برای اثبات این موضوع بنابر تعریف $||.||_\infty $ از $ f,g\in L^\infty $ نتیجه می شود موجموعه های $ E_1$ و $ E_2 $ وجود دارند که $ \mu(E_1)=0 $ و $\mu(E_2)=0 $ و روی $ E_1^c $ داریم $ |f(x)|\leq ||f||_\infty $ و روی $ E_2^c $ داریم $ |g(x)|\leq ||g||_\infty $ . اگر قرار دهیم
$ E=E_1\cup E_2$ دراینصورت $ \mu(E)=0 $ و روی $E^c $ داریم
$$ |f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq ||f||_\infty+||g||_\infty $$
لذا از تعریف نرم بی نهایت داریم: $||f+g||_\infty\leq ||f||_\infty+||g||_\infty $ .
اما همیشه می توان از یک نیم نرم یک نرم ساخت به این ترتیب که رابطه هم ارزی زیر را در نظر می گیریم:
$$ f \sim g \iff f=g\quad \mu-a.e. $$
در اینصورت رابطه بالا هم ارزی است( چرا؟) و $||.|| $ یک نرم روی کلاس های هم ارزی $ \dfrac{L^\infty(\mu)}{\sim} $ است. که این کلاس های هم ارزی را هم دوباره قرار داد میبندیم که با $L^\infty(\mu) $ یا $L^\infty $ نمایش می دهیم. یعنی در $L^\infty $ توابعی که تقریبا همه جا با هم برابر هستند را مساوی در نظر میگیریم. دقیقا کاری که برای $ L^p$ ها هم انجام میدادیم.
در اینصورت رابطه 2 در بالا به صورت اگر و تنها اگر در می آید یعنی : $f=0 $ اگر و تنها اگر $ ||f||_\infty=0$ . (توجه کنید که $ f=0 $ یعنی تقریبا همه جا $ f $ برابر صفر است. و ما توابعی که تقریبا همه جا برابر بودند را مساوی در نظر گرفتیم.)
