به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
50 بازدید
در دانشگاه توسط So (4 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

گردایه شامل تمام دنباله های اعداد که به صفر همگرا هستند همراه با عمل فضای برداری و نرم شبیه نرم روی $\ell^\infty$ را با $c_0$ نمایش می دهیم. برای اثبات باناخ بودن $c_0$ کافی است نشان دهیم $c_0$ زیر فضایی بسته از $\ell^\infty$ هست. برای اثبات بسته بودن $c_0$ دنباله دلخواه $x_n$ در $c_0$ را در نظر می گیریم که $x_n\to x$. باید نشان دهیم $x\in c_0$. این مطلب را چگونه اثبات کنیم؟

توسط fardina (17,203 امتیاز)
+1
گردایه شامل تمام دنباله های اعداد که به صفر همگرا هستند همراه با عمل فضای برداری و نرم شبیه نرم روی $\ell^\infty$ را با $c_0$ نمایش می دهیم. اینکه $c_0$ زیرفضایی از $\ell^\infty$  است ساده است(ثابت کنید). از طرفی چون $\ell^\infty$ فضایی باناخ است و هر زیرفضای بسته از یک فضای باناخ، خود فضایی باناخ است؛ لذا برای اثبات باناخ بودن فضای $c_0$ کافی است نشان دهید که بسته است. پس فرض کنید $x_n$ دنباله ای در $c_0$ باشد که $x_n\to x$. کافی است نشان دهید $x\in c_0$.

الان سوالتون چیه؟ در ادامه اثبات مشکل دارید؟
توسط So (4 امتیاز)
بله دقیقا  ادامش مشکل دارم
توسط So (4 امتیاز)
–1
یه دنباله تعریف میکنیم و چون همگراست کوشی بودن رو اثبات میکنیم بقیش موندم
توسط fardina (17,203 امتیاز)
+1
اینکه میگید یک دنباله تعریف می کنیم اشتباه است. همانطور که اشاره کردم برای اثبات بسته بودن باید نشان دهید برای هر دنباله ای مثل $x_n$ در $c_0$ که به $x$ همگراست، داریم  $x\in c_0$.
در ضمن فضاهای $c_0$ هم درست نیست. باید بگید فضای $c_0$. این موارد رو اشاره کرده بودم ولی چون باز تکرار کردید مستقیم تر یادآور شدم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (17,203 امتیاز)
انتخاب شده توسط So
 
بهترین پاسخ

فرض کنید $x_n\in c_0$ به $x$ همگرا باشد. توجه کنید که هر عضو $y\in \ell^\infty$ به صورت $(y^1, y^2, \cdots , y^k, \cdots)$ است و $\|y\|_\infty=\sup_k |y^k|$. پس برای هر $n$ می توان $x_n$ و $x$ را به صورت زیر در نظر گرفت: $$x_n=(x_n^1, x_n^2,\cdots x_n^k, \cdots)\\ x=(x^1, x^2, \cdots , x^k, \cdots)$$

برای اینکه نشان دهیم $x\in c_0$ باید نشان دهیم $\lim_{k\to\infty} x^k=0$. فرض کنید $\epsilon>0$ داده شده باشد. از آنجایی که $x_n\to x$ در $\ell^\infty$ پس $N$ی طبیعی وجود دارد به طوری که برای هر $n\geq N$ داریم $$\|x_n-x\|_\infty< \frac \epsilon 2$$ یا به طور معادل $\sup_k |x_n^k-x^k|< \frac\epsilon 2$. حال $m\geq N$ را ثابت در نظر بگیرد. چون $x_m\in c_0$ لذا $\lim_{k\to \infty}x_m^k=0$ پس $M$ ی طبیعی وجود دارد که برای هر $k\geq M$ داریم $|x_m^k|< \epsilon$ .

در اینصورت برای هر $k\geq M$ داریم: $$|x^k|\leq |x^k-x_m^k|+|x_m^k|\leq \|x-x_m\|_\infty+|x_m^k|< \frac\epsilon 2+\frac\epsilon 2=\epsilon$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...