به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
149 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنید $(X, \| . \|_1 )$ و $(Y, \| . \| _2)$ دو فضای باناخ باشند.نشان دهید فضای حاصلضربی $(X \times Y, \| . \| )$ یک فضای باناخ است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

فرض کنید نرم $\|.\|:X\times Y\to \mathbb R^{\geq 0}$ را به صورت $\|(x,y)\|=\max\{\|x\|_1,\|y\|_2\}$ تعریف کنیم. در اینصورت $\|.\|$ یک نرم روی $X\times Y$ است (چرا؟ خیلی ساده است)

حال باید نشان دهیم این نرم کامل است. یعنی هر دنباله کوشی همگرا است.

فرض کنید $(x_n,y_n)$ یک دنباله کوشی در $(X\times Y,\|.\|)$ باشد در اینصورت به ازای هر $\epsilon> 0$ یک $N\in\mathbb N$ هست که برای $m,n\geq N$ داریم $\|(x_m,y_m)-(x_n,y_n)\|\leq \epsilon$

اما چون

$\|(x_m,y_m)-(x_n,y_n)\|=\|(x_m-x_n,y_m-y_n)\|=\max\{\|x_m-x_n\|_1,\|y_m-y_n\|_2\}\leq\epsilon$ و $\|x_m-x_n\|_1,\|y_m-y_n\|_2\leq\max\{\|x_m-x_n\|_1,\|y_m-y_n\|_2\}\leq\epsilon $

بنابراین هم $x_n$ و هم $y_n$ دنباله هایی کوشی در $(X,\|.\|_1)$ و $(Y,\|.\|_2)$ هستند و چون این فضاها طبق تعریف باناخ هستند پس $x_n$ و $y_n$ همگرا هستند یعنی $x_n\to x$ و $y_n\to y$ .

نشان می هیم که $(x_n,y_n)\to (x,y)$:

فرض $\epsilon> 0$ دلخواه باشد چون $x_n\to x, y_n\to y$ پس $N$ ی هست که برای $n\geq N$ داریم $\|x_n-x\|_1\leq\epsilon$ و $\|y_n-y\|_2\leq\epsilon$

در اینصورت : $$\|(x_n,y_n)-(x,y_\|=\|(x_n-x,y_n-y)\|=\max\{\|x_n-x\|_1,\|y_n-y\|\}\leq\epsilon$$

و حکم ثابت است.

لازم به ذکر است که می توان روی $X\times Y$ نرمهای دیگری هم در نظر گرفت. به عنوان مثال $\|(x,y)\|=\|x\|_1+\|y\|_2$ که می توان نشان داد با نرم بالا هم ارز است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...