به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
154 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zahra habibi
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $(X, \| . \|_1 )$ و $(Y, \| . \| _2)$ دو فضای باناخ باشند.نشان دهید فضای حاصلضربی $(X \times Y, \| . \| )$ یک فضای باناخ است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فرض کنید نرم $\|.\|:X\times Y\to \mathbb R^{\geq 0}$ را به صورت $\|(x,y)\|=\max\{\|x\|_1,\|y\|_2\}$ تعریف کنیم. در اینصورت $\|.\|$ یک نرم روی $X\times Y$ است (چرا؟ خیلی ساده است)

حال باید نشان دهیم این نرم کامل است. یعنی هر دنباله کوشی همگرا است.

فرض کنید $(x_n,y_n)$ یک دنباله کوشی در $(X\times Y,\|.\|)$ باشد در اینصورت به ازای هر $\epsilon> 0$ یک $N\in\mathbb N$ هست که برای $m,n\geq N$ داریم $\|(x_m,y_m)-(x_n,y_n)\|\leq \epsilon$

اما چون

$\|(x_m,y_m)-(x_n,y_n)\|=\|(x_m-x_n,y_m-y_n)\|=\max\{\|x_m-x_n\|_1,\|y_m-y_n\|_2\}\leq\epsilon$ و $\|x_m-x_n\|_1,\|y_m-y_n\|_2\leq\max\{\|x_m-x_n\|_1,\|y_m-y_n\|_2\}\leq\epsilon $

بنابراین هم $x_n$ و هم $y_n$ دنباله هایی کوشی در $(X,\|.\|_1)$ و $(Y,\|.\|_2)$ هستند و چون این فضاها طبق تعریف باناخ هستند پس $x_n$ و $y_n$ همگرا هستند یعنی $x_n\to x$ و $y_n\to y$ .

نشان می هیم که $(x_n,y_n)\to (x,y)$:

فرض $\epsilon> 0$ دلخواه باشد چون $x_n\to x, y_n\to y$ پس $N$ ی هست که برای $n\geq N$ داریم $\|x_n-x\|_1\leq\epsilon$ و $\|y_n-y\|_2\leq\epsilon$

در اینصورت : $$\|(x_n,y_n)-(x,y_\|=\|(x_n-x,y_n-y)\|=\max\{\|x_n-x\|_1,\|y_n-y\|\}\leq\epsilon$$

و حکم ثابت است.

لازم به ذکر است که می توان روی $X\times Y$ نرمهای دیگری هم در نظر گرفت. به عنوان مثال $\|(x,y)\|=\|x\|_1+\|y\|_2$ که می توان نشان داد با نرم بالا هم ارز است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...