فرض کنید Y باناخ باشد. نشان می دهیم که L(X,Y) هم باناخ است.
توجه کنید که چون (X,\|.\|),(Y,\|.\|) فضاهای نرمدار هستند پس L(X,Y) با نرم \|T\|+\sup\{\|Tx\|:\|x\|=1\} به یک فضای نرمدار تبدیل می شود. ما نشان می دهیم که این نرم کامل است.
توجه کنید که می توان نشان داد که \sup\{\|Tx\|:\|x\|=1\}=\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:x\neq 0\}=\inf\{C:\|Tx\|\leq C\|x\|,\forall x\}
فرض کنید \{T_n\} یک دنباله کوشی در L(X,Y) باشد یعنی به ازای هر \epsilon >0 یک Nی یافت می شود که برای m,n\geq N داریم \|T_m-T_n\|< \epsilon. اگر x\in X در اینصورت \{T_n x\} یک دنباله ی کوشی در Y است زیرا به ازای هر \epsilon> 0 اگر N را همان N در تعریف کوشی بودن دنباله \{T_n\} بگیریم برای n\geq N داریم:
\|T_mx-T_nx\|\leq\|t_m-T_n\|\|x\|< \epsilon\|x\|
چون \{T_n x\} کوشی است و در Y قرار دارد و Y کامل است لذا همگراست. یعنی y\in Y موجود است به طوریکه T_n x\to y . نگاشت T:X\to Y را به صورت Tx=\lim_{n\to\infty}T_nx تعریف می کنیم.
نشان می دهیم که \{T_n\} به سمت T در L(X,Y) همگراست.
برای این کار باید ابتدا نشان دهیم که T\in L(X,Y) یعنی T خطی و کراندار است است.ولی خطی بودن هم واضح است زیرا T_n ها خظی هستند. در واقع T(\alpha x)=\lim_n T_n(\alpha x)=\lim_n \alpha T_n x=\alpha\lim_nT_n x=\alpha Tx
و به همین ترتیب نشان دهید T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2)
حال باید نشان دهیم که T کراندار است. به ازای هر \epsilon> 0 یک N ی هست که برای m,n\geq N داریم \|T_m-T_n\|< \epsilon
بنابراین برای m\geq N داریم:
\|T_m\|\leq\|T_N\|+\epsilon
و لذا \|Tx\|=\lim_n\|T_mx\|\leq\lim\|T_m\|\|x\|\leq(\|T_N\|+\epsilon)\|x\|
و این یعنی
T کراندار است.
حالا باید ثابت کنیم T_n\to T در L(X,Y): برای هر\epsilon> 0
و x\in X داریم
n\geq N\Rightarrow \\T_nx-Tx\|=\lim_{m\to\infty}\|T_nx-T_mx\|\leq\lim_{m\to\infty}\|T_n-T_m\|\|x\|< \epsilon\|x\|
و لذا
n\geq N داریم
\|T_n-T\|=\sup\{\|(T_n-T)x\|:\|x\|=1\}\leq\epsilon
و این یعنی T_n\to T و لذا حکم ثابت است.
