فرض کنید $Y$ باناخ باشد. نشان می دهیم که $L(X,Y)$ هم باناخ است.
توجه کنید که چون $(X,\|.\|),(Y,\|.\|)$ فضاهای نرمدار هستند پس $L(X,Y)$ با نرم $\|T\|+\sup\{\|Tx\|:\|x\|=1\}$ به یک فضای نرمدار تبدیل می شود. ما نشان می دهیم که این نرم کامل است.
توجه کنید که می توان نشان داد که $$\sup\{\|Tx\|:\|x\|=1\}=\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:x\neq 0\}=\inf\{C:\|Tx\|\leq C\|x\|,\forall x\}$$
فرض کنید $\{T_n\}$ یک دنباله کوشی در $L(X,Y)$ باشد یعنی به ازای هر $\epsilon >0$ یک $N$ی یافت می شود که برای $m,n\geq N$ داریم $\|T_m-T_n\|< \epsilon$. اگر $x\in X$ در اینصورت $\{T_n x\}$ یک دنباله ی کوشی در $Y$ است زیرا به ازای هر $\epsilon> 0$ اگر $N$ را همان $N$ در تعریف کوشی بودن دنباله $\{T_n\}$ بگیریم برای $n\geq N$ داریم:
$$\|T_mx-T_nx\|\leq\|t_m-T_n\|\|x\|< \epsilon\|x\|$$
چون $\{T_n x\}$ کوشی است و در $Y$ قرار دارد و $Y$ کامل است لذا همگراست. یعنی $y\in Y$ موجود است به طوریکه $T_n x\to y$ . نگاشت $T:X\to Y$ را به صورت $Tx=\lim_{n\to\infty}T_nx$ تعریف می کنیم.
نشان می دهیم که $\{T_n\}$ به سمت $T$ در $L(X,Y)$ همگراست.
برای این کار باید ابتدا نشان دهیم که $T\in L(X,Y)$ یعنی $T$ خطی و کراندار است است.ولی خطی بودن هم واضح است زیرا $T_n$ ها خظی هستند. در واقع $T(\alpha x)=\lim_n T_n(\alpha x)=\lim_n \alpha T_n x=\alpha\lim_nT_n x=\alpha Tx$
و به همین ترتیب نشان دهید $T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2)$
حال باید نشان دهیم که $T$ کراندار است. به ازای هر $\epsilon> 0$ یک $N$ ی هست که برای $m,n\geq N$ داریم $\|T_m-T_n\|< \epsilon$
بنابراین برای $m\geq N$ داریم:
$$\|T_m\|\leq\|T_N\|+\epsilon$$
و لذا $$\|Tx\|=\lim_n\|T_mx\|\leq\lim\|T_m\|\|x\|\leq(\|T_N\|+\epsilon)\|x\|$$
و این یعنی $T$ کراندار است.
حالا باید ثابت کنیم $T_n\to T$ در $L(X,Y)$: برای هر$\epsilon> 0$
و $x\in X$ داریم
$n\geq N\Rightarrow \\T_nx-Tx\|=\lim_{m\to\infty}\|T_nx-T_mx\|\leq\lim_{m\to\infty}\|T_n-T_m\|\|x\|< \epsilon\|x\|$
و لذا
$n\geq N$ داریم
$$ \|T_n-T\|=\sup\{\|(T_n-T)x\|:\|x\|=1\}\leq\epsilon$$
و این یعنی $T_n\to T$ و لذا حکم ثابت است.
