Question

در یک فضای خطی نرمدار X ثابت کنید بستار زیر مجموعه متقارن و زیر مجموعه محدب نیز متقارن و محدب می باشند.

Answer 1

فرض کنید $C$ زیرمجموعه محدب از یک فضای نرمدار باشد. نشان می دهیم $\overline{C}$ نیز محدب است. فرض $0< t< 1$. اگر $x, y\in \overline C$ در اینصورت دنباله های $x_n$ و $y_n$ موجودند که به ترتیب همگرا به $x$ و $y$ هستند. در اینصورت $tx_n+(1-t)y_n$ دنباله ای در $C$ است(بنابر محدب بودن) که به $tx+(1-t)y$ همگراست. بنابراین $x+(1-t)y\in \overline C$ .

با همین ایده باید بتوانید قسمت بعدی را نیز ثابت کنید.