فضای نرمدار $X$ جدایی پذیر باشد آیا$X^*$ نیز جدایی پذیر است ؟ چرا ؟

Question

اگر فضای نرمدار $X$ جدایی پذیر باشد آیا $X^{ \ast }$ نیز جدایی پذیر است؟ چرا ؟

Comments

لطف کنید به جای سلام احوال پرسی تلاشتون رو برای حل مساله بنویسید.

Answer 1

نه لزوما برقرار نیست. مثال نقض آن فضای $l^{1}$ است که خود جدایی پذیر است ولی دوگان آن یعنی $l^{ \infty }$ جدایی پذیر نیست. در حالت کلی اگر فضای باناخ مورد نظر انعکاسی باشد آنگاه حکم فوق دو طرفه میباشد یعنی خواهیم داشت:

$X$انعکاسی و جدایی پذیر است $\Longleftrightarrow$ $X^{*}$ انعکاسی و جدایی پذیر باشد

Comments

با تشکر از لطفتان