به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
1,885 بازدید
در دانشگاه توسط yosef.sobhi (321 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

آیا $ L^{1} (x) $ یک فضای هیلبرت است ؟ چرا؟

توسط erfanm (13,764 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm
$ f=\chi_{ [0,1]}, g=\chi_{ [1,2]}  $در قانون متوازی الاضلاع صدق نمیکنند لذا$L_{1}$فضای هیلبرت نیست.
البته این مثال نقضی برای تمام $L_{p}$ غیر از $L_{2}$ است چون برای هر $p$ تنها زمانی قضیه متوازی الاضلاع برای این دو تابع برقرار میشه که $p=2$ باشد.

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)

خیر فضای هیلبرت نیست.

یک نرم $ \|.\|$ از یک ضرب داخلی القا می شود اگر و تنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند یعنی: $$ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2) $$

مثلا $f,g\in L^1[0,1] $ را به صورت $ f(x)=x $ و $ g(x)=1-x $ در نظر بگیرید. و خواهید دید که قانون متوازی الاضلاع در مورد نرم $ \|.\|_1 $ که به صورت $\|f\|_1=\int_0^1 |f|d\mu $ تعریف می شود برقرار نیست.

از بین $ L^p $ ها تنها $L^2 $ یک فضای هیلبرت است.

توسط Sh1292 (20 امتیاز)
+1
ببخشید اثبات این قسمت که گفتید یک نرم از فضای ضرب داخلی القا می شود اگر و‌تنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند را کجا میتونم ببینم اگه راهنمایی کنید ممنون میشم

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...