Question

آیا $L^{1} (x)$ یک فضای هیلبرت است ؟ چرا؟

Comments

$f=\chi_{ [0,1]}, g=\chi_{ [1,2]}$در قانون متوازی الاضلاع صدق نمیکنند لذا$L_{1}$فضای هیلبرت نیست.
البته این مثال نقضی برای تمام $L_{p}$ غیر از $L_{2}$ است چون برای هر $p$ تنها زمانی قضیه متوازی الاضلاع برای این دو تابع برقرار میشه که $p=2$ باشد.

Answer 1

خیر فضای هیلبرت نیست.

یک نرم $\|.\|$ از یک ضرب داخلی القا می شود اگر و تنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند یعنی:

$$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)$$

مثلا $f,g\in L^1[0,1]$ را به صورت $f(x)=x$ و $g(x)=1-x$ در نظر بگیرید. و خواهید دید که قانون متوازی الاضلاع در مورد نرم $\|.\|_1$ که به صورت $\|f\|_1=\int_0^1 |f|d\mu$ تعریف می شود برقرار نیست.

از بین $L^p$ ها تنها $L^2$ یک فضای هیلبرت است.

Comments

ببخشید اثبات این قسمت که گفتید یک نرم از فضای ضرب داخلی القا می شود اگر و‌تنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند را کجا میتونم ببینم اگه راهنمایی کنید ممنون میشم