فضای متناهی بعد با نرم اقلیدسی یک فضای باناخ روی اعداد حقیقی است.

Question

فضای متناهی بعد $\mathbb R^n$ با نر م اقلیدسی $\parallel X \parallel _{2} = \sqrt{ x _{1} ^{2}+...+x _{n} ^{2}}$ یک فضای باناخ روی اعداد حقیقی است.

Answer 1

از اینکه $\mathbb R$ یک فضای باناخ هست( در واقع متر آن کامل است) نمیتوانید باناخ بودن $\mathbb R^n$ را نتیجه بگیرید؟
فقط کافیه یک دنباله کوشی در $\mathbb R^n$ مثل $(x^1_k,x^2_k,...,x^n_k)$ را در نظر بگیرید در اینصورت هر کدام از $x^i_k$ ها کوشی هستند(چرا؟) لذا از کامل بودن $\mathbb R$ نتیجه می شود همگرا هستند. اگر $x^i_k\to x^i$ آنگاه $(x^1_k,x^2_k,...,x^n_k)\to (x^1,..., x^n)$ . چرا؟