اگر $X \times Y$ با نرم $ \| x+y \| = \| x \|_1 + \| y \| _2$ کامل(باناخ) باشد آنگاه $X,Y$ هم باناخ اند

Question

اگر $X \times Y$ با نرم $ \| (x,y) \| = \| x \|_1 + \| y \| _2$ کامل(باناخ) باشد آنگاه $(X, \| . \| _1)$ و$(Y, \| . \| _2)$ باناخ هستند.

Comments

منظورتون با نرم $\|(x,y)\|=\|x\|_1+\|y\|_2$ نیست احیانا؟

---

بله فکر میکنم باید همین باشه

Answer 1

فرض کنید $x_n$ دنباله ای کوشی در $X$ باشد در اینصورت $(x_n,0)$ دنباله ای کوشی در $X\times Y$ خواهد بود. و چون $X\times Y$ کامل است لذا $(x_0,y_0)\in X\times Y$ وجود دارد به طوریکه $(x_n, 0)\to (x_0,y_0)$ همگرا است. در اینصورت از اینکه $$\|x_n-x_0\|_1\leq \|x_n-x_0\|_1+\|0-y_0\|_2=\|(x_n-x_0,0-y_0)\|$$

نتیجه می شود که $x_n-x_0$ به صفر همگراست یعنی $x_n\to x_0$ . یعنی $X$ کامل است.

و به همین ترتیب برای $Y$ هم استدلال می شود.