این قضیه برای $p\geq 1$ برقرار هست. برای $p=\infty$ هم می توانید به اینجا نگاه کنید:
آیا $L^\infty$ فضای برداری کامل است؟
برای اثبات از کتاب آنالیزحقیقی فولند فصل فضاهای $L^p$ استفاده شده:
از قضیه زیر استفاده می کنیم:
فضای برداری نرمدار $X$ کامل است اگر و تنها اگر هر سری همگرای مطلق یک سری همگرا در $X$ باشد.
فرض کنید $f_k$ یک دنباله در $L^p$ باشد که همگرای مطلق است یعنی $$\sum_1^\infty\|f_k\|_p = B< \infty$$
قرار دهید $G_n=\sum_1^n |f_k|$ و $ G=\sum_1^\infty |f_k| $ . برای هر $n$ با استفاده از نامساوی مینکوفسکی داریم
$\begin{align}\|G_n\|_p&=(\int |G_n|^p)^{\frac 1p}\\
&=(\int (\sum_1^n |f_k|)^p)^{\frac 1p}\\
&\leq \sum_1^n(\int |f_k|^p)^{\frac 1p}\\
&=\sum_1^n\|f_k\|_p\leq B\end{align}$
بنابراین $G_n^p\in L^+$ زیرا $\int G_n^p\leq B^p$ پس بنابر قضیه همگرایی یکنوای لبگ برای این دنباله $0\leq G_n^p\leq G_{n+1}^p\nearrow G^p$داریم:
$$\int G^p=\lim_n\int G_n^p\leq B^p$$ . بنابراین $G\in L^p$ و به خصوص تقریبا همه جا $G(x)< \infty$ (چرا؟) که نتیجه می شود سری $F=\sum_1^\infty f_k$ تقریبا همه جا همگراست داریم $|F|\leq G$ و در نتیجه $F\in L^p$ .
حال دنباله ی $|F-\sum_1^n f_k|$ را در نظر بگیرید چون
$$|F-\sum_1^n f_k|^p\leq (|F|+\sum_1^n|f_k|)^p\leq (G+G)^p=(2G)^p\in L^1$$
پس بنابر قضیه همگرایی مغلوب داریم
$$\|F-\sum_1^n f_k\|_p^p=\int|F-\sum_1^n f_k|6p\to 0$$
یعنی سری $\sum_1^\infty f_k$ نسبت به نرم $L^p$ همگراست.
