فرض کنیم $\infty >p>r>1$،اثبات کنید $L^p \subset L^r$ و داریم $\parallel X \parallel _r \leq \parallel X \parallel _p$

Question

فرض کنیم
$\infty >p>r>1$ ثابت کنید:

$$L^p \subset L^r$$

و ثابت کنید:

$$\parallel X \parallel _r \leq \parallel X \parallel _p$$

Comments

سلام
میشه منبعی که دارید میخونید بگید؟ اسم کتاب و نویسنده.

Answer 1

شرط متناهی بودن در این مساله ضروری است مثلا $f(x)=\frac 1{\sqrt x}$ برای $x\in[0, \infty)$ را در نظر بگیرید در اینصورت $f\in L^3$ ولی $f\notin L^2$

شرط متناهی بودن فضا در این مساله شرط اساسی است.

یعنی

چنانچه $\mu(X)< \infty$ و $0< p< q\leq \infty$ آنگاه $L^q\subset L^p$

اگر $q< \infty$ با استفاده از نامساوی هولدر با مزدوج های $\frac qp, \frac{q}{q-p}$ داریم

$$\|f\|_p^p=\int|f|^p.1\leq \| |f|^p\|_{\frac qp}\times \|1\|_{\frac q{q-p}}=\|f\|_q^p\mu(X)^{\frac{q-p}q}< \infty$$

و اگر $q=\infty$ در اینصورت

$$\|f\|_p^p=\int|f|^p\leq \|f\|_\infty ^p\int 1=\|f\|_\infty^p\mu(X)< \infty$$

---

اون نامساوی هم که گفتید اصلا برقرار نیست مثلا تابع ثابت $f(x)=c>0$ را در نظر بگیرید در بازه $X=(0,2)$ در اینصورت $\sqrt{2}c=\|f\|_2\not\leq \|f\|_3=\sqrt[3]2c$