اگر $f\in L^\infty$ آنگاه $\mid f \mid \leq \parallel f \parallel _ \infty$

Question

اگر $f \in L^ \infty$ ,ثابت کنید $\mid f \mid \leq \parallel f \parallel _ \infty$ a.e.(تقریبا همه جا)

Answer 1

فرض کنیم $f \in L^\infty$ آنگاه طبق تعریف $||.||_\infty$ داریم که:

$||f||_\infty=inf\ \lbrace M:|f(x)| \leqslant M \ \ \ \quad a.e \ \ \ \rbrace$ که در آن $M$ها اعداد حقیقی (و البته مثبت)می‌باشند.

حال فرض کنیم $M'=inf\ \lbrace M:|f(x)| \leqslant M \ \ \ \quad a.e \ \ \ \rbrace$

پس طبق تعریف اینفیمم می‌توان گفت

$|f(x)| \leqslant M' =||f||_\infty \ \ \quad a.e$

پس تقریبا برای همه $x$ها

$| f(x)| \leqslant ||f||_\infty \ \ \quad$

و این یعنی اینکه تقریبا همه جا $|f| \leqslant ||f||_\infty \ \ \quad$

Answer 2

از آنجا که $$\{x:|f(x)|> \|f\|_\infty\}=\bigcup_1^\infty \{x: |f(x)|>\|f\|_\infty+\frac 1n\}$$ و برای هر $n\in\mathbb N$ بنابر تعریف اینفیمم، $t_n\in\{t>0:\mu(\{x:|f(x)|>t\})=0\}$ موجود است که $t_n< \|f\|_\infty+\frac 1n$ لذا $$\{x: |f(x)|>\|f\|_\infty+\frac 1n\}\subset \{x: |f(x)|>t_n\}$$ پس برای هر $n$ داریم $\mu(\{x: |f(x)|>\|f\|_\infty+\frac 1n\})=0$ که از تساوی اول نتیجه می شود $\mu(\{x: |f(x)|>\|f\|_\infty)\}=0$ .