Question

فرض کنید $X$و $Y$ دو فضای باناخ باشند و فرض کنید $T : X \longrightarrow Y$ یک نگاشت خطی باشد به طوریکه برای هر $f \in Y^{ \ast}$ داشته باشیم $f \circ T \in X^{ \ast}$ .ثابت کنید که $T$ کراندار است .

Comments

مرجع  آنالیز حقیقی

---

لطفا سوالتونو ویرایش کنید. فرمولها رو در بین علامت دلار بنویسید(اول روی دکمه "ریاضی" کلیک کنید بعد در بین علامت دلار فرمول رو بنویسید) مرجع رو هم در هنگام ویرایش درست کنید نه در دیدگاه. ممنون.

---

بله درس میفرمایین. ممنون

---

خواهش میکنم ولی هنوز ویرایش نکردید.

Answer 1

کافی است نشان دهیم $T$ پیوسته است.

برای پیوسته بودن هم کافی است نشان دهیم گراف آن بسته است.

برای نشان دادن بسته بودن گراف $T$ کافی است نشان دهیم چنانچه $x_n\to x$ و $Tx_n\to y$ آنگاه $y=Tx$ .

اما چنانچه $y\neq Tx$ در این صورت بنابر قضیه جداسازی می دانیم که $Y^*$ نقاط بر $Y$ را جدا می سازد یعنی تابعک $f\in Y^*$ موجود است چنانچه $$f(y)\neq f(Tx)\tag{*}\label{*}$$ .

اما از طرفی بنابر فرض مساله برای هر $f\in Y^*$ داریم $f\circ T$ پیوسته است و لذا از $x_n\to x$ داریم $$f\circ T(x_n)\to f\circ T(x)\tag{1}\label{1}$$ و از $Tx_n\to y$ داریم $$f\circ T(x_n)=f(Tx_n)\to f(y)\tag{2}\label{2}$$ اما $\eqref{1},\eqref{2}$ نتیجه می دهند که $f(y)=f(Tx)$ که با $\ref{*}$در تناقض است.