به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
127 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنید $X$و $Y$ دو فضای باناخ باشند و فرض کنید $T : X \longrightarrow Y$ یک نگاشت خطی باشد به طوریکه برای هر $f \in Y^{ \ast} $ داشته باشیم $f \circ T \in X^{ \ast}$ .ثابت کنید که $T$ کراندار است .

مرجع: آن
دارای دیدگاه توسط
+2
مرجع  آنالیز حقیقی
دارای دیدگاه توسط
+1
لطفا سوالتونو ویرایش کنید. فرمولها رو در بین علامت دلار بنویسید(اول روی دکمه "ریاضی" کلیک کنید بعد در بین علامت دلار فرمول رو بنویسید) مرجع رو هم در هنگام ویرایش درست کنید نه در دیدگاه. ممنون.
دارای دیدگاه توسط
+2
بله درس میفرمایین. ممنون
دارای دیدگاه توسط
+1
خواهش میکنم ولی هنوز ویرایش نکردید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

کافی است نشان دهیم $T$ پیوسته است.

برای پیوسته بودن هم کافی است نشان دهیم گراف آن بسته است.

برای نشان دادن بسته بودن گراف $T$ کافی است نشان دهیم چنانچه $x_n\to x$ و $Tx_n\to y$ آنگاه $y=Tx$ .

اما چنانچه $y\neq Tx$ در این صورت بنابر قضیه جداسازی می دانیم که $Y^*$ نقاط بر $Y$ را جدا می سازد یعنی تابعک $f\in Y^*$ موجود است چنانچه $$f(y)\neq f(Tx)\tag{*}\label{*}$$ .

اما از طرفی بنابر فرض مساله برای هر $f\in Y^*$ داریم $f\circ T$ پیوسته است و لذا از $x_n\to x $ داریم $$f\circ T(x_n)\to f\circ T(x)\tag{1}\label{1}$$ و از $Tx_n\to y$ داریم $$f\circ T(x_n)=f(Tx_n)\to f(y)\tag{2}\label{2}$$ اما $\eqref{1},\eqref{2}$ نتیجه می دهند که $f(y)=f(Tx)$ که با $\ref{*}$در تناقض است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...