کافی است نشان دهیم $T$ پیوسته است.
برای پیوسته بودن هم کافی است نشان دهیم گراف آن بسته است.
برای نشان دادن بسته بودن گراف $T$ کافی است نشان دهیم چنانچه $x_n\to x$ و $Tx_n\to y$ آنگاه $y=Tx$ .
اما چنانچه $y\neq Tx$ در این صورت بنابر قضیه جداسازی می دانیم که $Y^*$ نقاط بر $Y$ را جدا می سازد یعنی تابعک $f\in Y^*$ موجود است چنانچه $$f(y)\neq f(Tx)\tag{*}\label{*}$$ .
اما از طرفی بنابر فرض مساله برای هر $f\in Y^*$ داریم $f\circ T$ پیوسته است و لذا از $x_n\to x $ داریم $$f\circ T(x_n)\to f\circ T(x)\tag{1}\label{1}$$ و از $Tx_n\to y$ داریم
$$f\circ T(x_n)=f(Tx_n)\to f(y)\tag{2}\label{2}$$ اما $\eqref{1},\eqref{2}$ نتیجه می دهند که $f(y)=f(Tx)$
که با $\ref{*}$در تناقض است.
