به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
139 بازدید
در دانشگاه توسط zmohamadi
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $X$و $Y$ دو فضای باناخ باشند و فرض کنید $T : X \longrightarrow Y$ یک نگاشت خطی باشد به طوریکه برای هر $f \in Y^{ \ast} $ داشته باشیم $f \circ T \in X^{ \ast}$ .ثابت کنید که $T$ کراندار است .

مرجع: آن
توسط zmohamadi
+2
مرجع  آنالیز حقیقی
توسط fardina
+1
لطفا سوالتونو ویرایش کنید. فرمولها رو در بین علامت دلار بنویسید(اول روی دکمه "ریاضی" کلیک کنید بعد در بین علامت دلار فرمول رو بنویسید) مرجع رو هم در هنگام ویرایش درست کنید نه در دیدگاه. ممنون.
توسط zmohamadi
+2
بله درس میفرمایین. ممنون
توسط fardina
+1
خواهش میکنم ولی هنوز ویرایش نکردید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

کافی است نشان دهیم $T$ پیوسته است.

برای پیوسته بودن هم کافی است نشان دهیم گراف آن بسته است.

برای نشان دادن بسته بودن گراف $T$ کافی است نشان دهیم چنانچه $x_n\to x$ و $Tx_n\to y$ آنگاه $y=Tx$ .

اما چنانچه $y\neq Tx$ در این صورت بنابر قضیه جداسازی می دانیم که $Y^*$ نقاط بر $Y$ را جدا می سازد یعنی تابعک $f\in Y^*$ موجود است چنانچه $$f(y)\neq f(Tx)\tag{*}\label{*}$$ .

اما از طرفی بنابر فرض مساله برای هر $f\in Y^*$ داریم $f\circ T$ پیوسته است و لذا از $x_n\to x $ داریم $$f\circ T(x_n)\to f\circ T(x)\tag{1}\label{1}$$ و از $Tx_n\to y$ داریم $$f\circ T(x_n)=f(Tx_n)\to f(y)\tag{2}\label{2}$$ اما $\eqref{1},\eqref{2}$ نتیجه می دهند که $f(y)=f(Tx)$ که با $\ref{*}$در تناقض است.

hamyarapply

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...