به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
131 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zmohamadi
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $X$و $Y$ دو فضای باناخ باشند و فرض کنید $T : X \longrightarrow Y$ یک نگاشت خطی باشد به طوریکه برای هر $f \in Y^{ \ast} $ داشته باشیم $f \circ T \in X^{ \ast}$ .ثابت کنید که $T$ کراندار است .

مرجع: آن
دارای دیدگاه توسط zmohamadi
+2
مرجع  آنالیز حقیقی
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
لطفا سوالتونو ویرایش کنید. فرمولها رو در بین علامت دلار بنویسید(اول روی دکمه "ریاضی" کلیک کنید بعد در بین علامت دلار فرمول رو بنویسید) مرجع رو هم در هنگام ویرایش درست کنید نه در دیدگاه. ممنون.
دارای دیدگاه توسط zmohamadi
+2
بله درس میفرمایین. ممنون
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
خواهش میکنم ولی هنوز ویرایش نکردید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

کافی است نشان دهیم $T$ پیوسته است.

برای پیوسته بودن هم کافی است نشان دهیم گراف آن بسته است.

برای نشان دادن بسته بودن گراف $T$ کافی است نشان دهیم چنانچه $x_n\to x$ و $Tx_n\to y$ آنگاه $y=Tx$ .

اما چنانچه $y\neq Tx$ در این صورت بنابر قضیه جداسازی می دانیم که $Y^*$ نقاط بر $Y$ را جدا می سازد یعنی تابعک $f\in Y^*$ موجود است چنانچه $$f(y)\neq f(Tx)\tag{*}\label{*}$$ .

اما از طرفی بنابر فرض مساله برای هر $f\in Y^*$ داریم $f\circ T$ پیوسته است و لذا از $x_n\to x $ داریم $$f\circ T(x_n)\to f\circ T(x)\tag{1}\label{1}$$ و از $Tx_n\to y$ داریم $$f\circ T(x_n)=f(Tx_n)\to f(y)\tag{2}\label{2}$$ اما $\eqref{1},\eqref{2}$ نتیجه می دهند که $f(y)=f(Tx)$ که با $\ref{*}$در تناقض است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...