کامل بودن(هر دنباله کوشی در این فضا همگراست) فضای با بعد متناهی (فضای هیلبرت)

Question

نشان دهید اگر فضای ضرب داخلی بعد متناهی داشته باشد حتما این فضا کامل است.(کامل بودن منظور هر دنباله کوشی در این فضا همگراست)(فضای ضرب داخلی با بعد متناهی فضای هیلبرت است)

Comments

منظورتان از پرانتز دومی چیست؟ یعنی به عنوان دانسته آن را گفته‌اید یا به عنوان هم‌ارز پرسش‌تان؟ چون اگر آن را دانسته بدانید آنگاه از تعریف فضای هیلبرت، حکم را دارید. چون پرانتز نخست‌تان از نوع اطلاع‌رسانی بود، این به ذهن خواننده می‌رسد که پرانتز دوم‌تان نیز از نوع آگاهی‌رسان می‌باشد.

Answer 1

سلام دوست عزیز,

راهنمایی:

خوب اول, می دانیم $\mathbb R^n$ با ضرب داخلی$\langle x, y \rangle = \sum_{j=1}^{n} x_j {y}_j ,$ فضای هیلبرت است.

ابتدا پایه متعامد یکه برای فضای $n$ بعدی $V$ مثل ${v_1,...v_n}$ اتخاذ می کنیم و سپس تابع زیر را تعریف میکنیم $T:V \to \mathbb{R}^n$ که

$$T(v)=T(x_1 v_1 + ... + x_n v_n)= (x_1, \dots, x_n)$$

بوضح $T$ دوسویی و حافظ ضرب داخلی است بنابرین $T$ ایزومورفیسم می باشد. بنابرین کلیه خواص $\mathbb R^n$ تخت $T^{-1}$ حفظ می شود. (از جمله کوشی بودن)