ثابت کنید $c_0$ فضایی باناخ است.

Question

گردایه شامل تمام دنباله های اعداد که به صفر همگرا هستند همراه با عمل فضای برداری و نرم شبیه نرم روی $\ell^\infty$ را با $c_0$ نمایش می دهیم. برای اثبات باناخ بودن $c_0$ کافی است نشان دهیم $c_0$ زیر فضایی بسته از $\ell^\infty$ هست. برای اثبات بسته بودن $c_0$ دنباله دلخواه $x_n$ در $c_0$ را در نظر می گیریم که $x_n\to x$. باید نشان دهیم $x\in c_0$. این مطلب را چگونه اثبات کنیم؟

Comments

گردایه شامل تمام دنباله های اعداد که به صفر همگرا هستند همراه با عمل فضای برداری و نرم شبیه نرم روی $\ell^\infty$ را با $c_0$ نمایش می دهیم. اینکه $c_0$ زیرفضایی از $\ell^\infty$  است ساده است(ثابت کنید). از طرفی چون $\ell^\infty$ فضایی باناخ است و هر زیرفضای بسته از یک فضای باناخ، خود فضایی باناخ است؛ لذا برای اثبات باناخ بودن فضای $c_0$ کافی است نشان دهید که بسته است. پس فرض کنید $x_n$ دنباله ای در $c_0$ باشد که $x_n\to x$. کافی است نشان دهید $x\in c_0$.

الان سوالتون چیه؟ در ادامه اثبات مشکل دارید؟

---

بله دقیقا  ادامش مشکل دارم

---

یه دنباله تعریف میکنیم و چون همگراست کوشی بودن رو اثبات میکنیم بقیش موندم

---

اینکه میگید یک دنباله تعریف می کنیم اشتباه است. همانطور که اشاره کردم برای اثبات بسته بودن باید نشان دهید برای هر دنباله ای مثل $x_n$ در $c_0$ که به $x$ همگراست، داریم  $x\in c_0$.
در ضمن فضاهای $c_0$ هم درست نیست. باید بگید فضای $c_0$. این موارد رو اشاره کرده بودم ولی چون باز تکرار کردید مستقیم تر یادآور شدم.

Answer 1

فرض کنید $x_n\in c_0$ به $x$ همگرا باشد. توجه کنید که هر عضو $y\in \ell^\infty$ به صورت $(y^1, y^2, \cdots , y^k, \cdots)$ است و $\|y\|_\infty=\sup_k |y^k|$. پس برای هر $n$ می توان $x_n$ و $x$ را به صورت زیر در نظر گرفت:

$$x_n=(x_n^1, x_n^2,\cdots x_n^k, \cdots)\\ x=(x^1, x^2, \cdots , x^k, \cdots)$$

برای اینکه نشان دهیم $x\in c_0$ باید نشان دهیم $\lim_{k\to\infty} x^k=0$. فرض کنید $\epsilon>0$ داده شده باشد. از آنجایی که $x_n\to x$ در $\ell^\infty$ پس $N$ی طبیعی وجود دارد به طوری که برای هر $n\geq N$ داریم

$$\|x_n-x\|_\infty< \frac \epsilon 2$$ یا به طور معادل $\sup_k |x_n^k-x^k|< \frac\epsilon 2$. حال $m\geq N$ را ثابت در نظر بگیرد. چون $x_m\in c_0$ لذا $\lim_{k\to \infty}x_m^k=0$ پس $M$ ی طبیعی وجود دارد که برای هر $k\geq M$ داریم $|x_m^k|< \epsilon$ .

در اینصورت برای هر $k\geq M$ داریم:

$$|x^k|\leq |x^k-x_m^k|+|x_m^k|\leq \|x-x_m\|_\infty+|x_m^k|< \frac\epsilon 2+\frac\epsilon 2=\epsilon$$