فرض کنید $x_n\in c_0$ به $x$ همگرا باشد. توجه کنید که هر عضو $y\in \ell^\infty$ به صورت $(y^1, y^2, \cdots , y^k, \cdots)$ است و $\|y\|_\infty=\sup_k |y^k|$. پس برای هر $n$ می توان $x_n$ و $x$ را به صورت زیر در نظر گرفت:
$$x_n=(x_n^1, x_n^2,\cdots x_n^k, \cdots)\\
x=(x^1, x^2, \cdots , x^k, \cdots)$$
برای اینکه نشان دهیم $x\in c_0$ باید نشان دهیم $\lim_{k\to\infty} x^k=0$. فرض کنید $\epsilon>0$ داده شده باشد. از آنجایی که $x_n\to x$ در $\ell^\infty$ پس $N$ی طبیعی وجود دارد به طوری که برای هر $n\geq N$ داریم
$$\|x_n-x\|_\infty< \frac \epsilon 2$$
یا به طور معادل $\sup_k |x_n^k-x^k|< \frac\epsilon 2$. حال $m\geq N$ را ثابت در نظر بگیرد. چون $x_m\in c_0$ لذا $\lim_{k\to \infty}x_m^k=0$ پس $M$ ی طبیعی وجود دارد که برای هر $k\geq M$ داریم $|x_m^k|< \epsilon$ .
در اینصورت برای هر $k\geq M$ داریم:
$$|x^k|\leq |x^k-x_m^k|+|x_m^k|\leq \|x-x_m\|_\infty+|x_m^k|< \frac\epsilon 2+\frac\epsilon 2=\epsilon$$
