فقط کافیه از تعریف اندازه پذیری استفاده کنید.
اگر $ E $ اندازه پذیر خارجی باشد آنگاه به ازای هر $ A\subset X$ داریم:
$$ \mu(A)=\mu(A\cap E)+\mu(A\cap E^c) $$
حال اگر این تعریف را به جای $ A $ برای $ E\cup A $ بنویسید و جاگذاری کنید حکم ثابت می شود.
اثبات کامل بعد از نظر مهران:
چون $E$ اندازه پذیر است لذا:
$\begin{align}\mu((E\cup A)&=\mu((E\cup A)\cap E)+\mu((E\cup A)\cap E^c)\\
&= \mu(E)+\mu(A\cap E^c)\end{align}$
و با اضافه کردن $\mu(E\cap A)$ به طرفین تساوی بالا داریم:
$\mu(E\cup A)+\mu(E\cap A)=\mu(E)+\mu(A\cap E^c)+\mu(A\cap E)$
و چون $E$ اندازه پذیر است لذا $\mu(A)=\mu(A\cap E^c)+\mu(A\cap E)$ و لذا تساوی قبلی به صورت زیر در می آید:
$$\mu(E\cup A)+\mu(E\cap A)=\mu(E)+\mu(A)$$
