نشان دهید تابع $g$ با شرط $f(x,y)=g(x)-g(y)$ وجود دارد.

Question

فرض کنید $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ یک تابع با شرط $f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=0$ برای هر $x,y,z$ باشد. نشان دهید تابعی مانند $g:\mathbb R\to \mathbb R$ وجود دارد به طوریکه $f(x,y)=g(x)-g(y)$ برای هر $x,y\in\mathbb R$ .

Answer 1

ابتدا بجای $y$ و $z$ هم $x$ قرار می دهیم تا $3f(x,x)=0$ بدست آید یعنی با ازای هر $x$ داریم $f(x,x)=0$ است.

حال بجای $z$ در رابطه ی اولیه $x$ قرار می دهیم لذا داریم:

$$f(x,y)+f(y,x)+f(x,x)=0 \\ \Rightarrow f(x,y)+f(y,x)=0 \Rightarrow f(x,y)=-f(y,x)$$ یعنی اگر جای مولفه ها رو عوض کنیم یک منفی ظاهر می شود حال فرض $a$ عددی ثابت باشد تعریف میکنیم: $$g(x)=f(x,a)$$ لذا اگر بجای $z$ در رابطه ی اولیه$a$ قرار دهیم داریم:

$$f(x,y)+f(y,a)+f(a,x)=0 \\ \Rightarrow f(x,y)=-f(a,x)-f(y,a)=f(x,a)-f(y,a)$$ با توجه به تعریف $g(x)=f(x,a)$ داریم: $$f(x,y)=g(x)-g(y)$$