نشان دهید تابع $g$ با شرط $f(x,y)=g(x)-g(y) $ وجود دارد.

Question

فرض کنید $ f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ یک تابع با شرط $ f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=0 $ برای هر $x,y,z$ باشد. نشان دهید تابعی مانند $g:\mathbb R\to \mathbb R $ وجود دارد به طوریکه $ f(x,y)=g(x)-g(y) $ برای هر $ x,y\in\mathbb R $ .

Answer 1

ابتدا بجای $ y $ و $ z $ هم $ x $ قرار می دهیم تا $3f(x,x)=0 $ بدست آید یعنی با ازای هر $ x $ داریم $f(x,x)=0 $ است.

حال بجای $ z $ در رابطه ی اولیه $ x $ قرار می دهیم لذا داریم: $$f(x,y)+f(y,x)+f(x,x)=0 \\ \Rightarrow f(x,y)+f(y,x)=0 \Rightarrow f(x,y)=-f(y,x)$$ یعنی اگر جای مولفه ها رو عوض کنیم یک منفی ظاهر می شود حال فرض $ a $ عددی ثابت باشد تعریف میکنیم: $$ g(x)=f(x,a) $$ لذا اگر بجای $ z $ در رابطه ی اولیه$ a $ قرار دهیم داریم:

$$f(x,y)+f(y,a)+f(a,x)=0 \\ \Rightarrow f(x,y)=-f(a,x)-f(y,a)=f(x,a)-f(y,a) $$ با توجه به تعریف $ g(x)=f(x,a)$ داریم: $$ f(x,y)=g(x)-g(y) $$