چه توابعی در این شرط صدق می کنند: $f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$

Question

تمام توابع مشتق پذیر $ f:\mathbb{R}\to \mathbb R $ را بیابید به طوریکه: $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n} $$ برای هر عدد حقیقی $x $ و هر عدد طبیعی $ n $

Answer 1

بوضوح توابعی به صورت $ f(x)=ax+b $ در معادله صدق می کنند نشان میدهیم هرتابعی که در رابطه بالا صدق کنه به همین صورت است.

$$n=1 \Rightarrow f' (x)=f(x+1)-f(x) \Rightarrow f(x+1)=f' (x)+f(x) \\ n=2 \Rightarrow 2f' (x)=f(x+2)-f(x) \Rightarrow f(x+2)=2f' (x)+f(x)\\ n=1,x \mapsto x+1 \Rightarrow f' (x+1)=f(x+2)-f(x+1) $$

یعنی $$ f' (x+1)=2f' (x)+f(x)-(f' (x)+f(x))=f' (x) $$

حال تعریف میکنیم $ g(x)=f(x+1)-f(x)$ بوضوح تابع $ g $ مشتق پذیر بوده و مشتقش با توجه به رابطه بدست آمده برابر صفر است لذا تابع $ g$ تابعی ثابت است. با کمی دقت تابع $ g$ همان $ f' (x) $ است یعنی مشتق تابع $ f $ عددی ثابت است.پس با انتگرال گیری داریم که $ f(x)=ax+b $ است.