چه توابعی در این شرط صدق می کنند: $f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$

Question

تمام توابع مشتق پذیر $f:\mathbb{R}\to \mathbb R$ را بیابید به طوریکه:

$$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$ برای هر عدد حقیقی $x$ و هر عدد طبیعی $n$

Answer 1

بوضوح توابعی به صورت $f(x)=ax+b$ در معادله صدق می کنند نشان میدهیم هرتابعی که در رابطه بالا صدق کنه به همین صورت است.

$$n=1 \Rightarrow f' (x)=f(x+1)-f(x) \Rightarrow f(x+1)=f' (x)+f(x) \\ n=2 \Rightarrow 2f' (x)=f(x+2)-f(x) \Rightarrow f(x+2)=2f' (x)+f(x)\\ n=1,x \mapsto x+1 \Rightarrow f' (x+1)=f(x+2)-f(x+1)$$

یعنی

$$f' (x+1)=2f' (x)+f(x)-(f' (x)+f(x))=f' (x)$$

حال تعریف میکنیم $g(x)=f(x+1)-f(x)$ بوضوح تابع $g$ مشتق پذیر بوده و مشتقش با توجه به رابطه بدست آمده برابر صفر است لذا تابع $g$ تابعی ثابت است. با کمی دقت تابع $g$ همان $f' (x)$ است یعنی مشتق تابع $f$ عددی ثابت است.پس با انتگرال گیری داریم که $f(x)=ax+b$ است.