اگر یک چندجمله‌ای درجهٔ ۳ بر بازهٔ یکی و منفی یک، بین یک و منفی یک بیفتد آنگاه ضرایبش در چه شرط قدرمطلقی من صدق می‌کنند؟

Question

فرض کنید $ p(x)=a x^{3} +b x^{2} +c x+d $ یک چند جمله‌ای با ضرایب حقیقی باشد.

ثابت کنید اگر برای هر $x $ که $ |x| \leq 1 $ داشته باشیم $ |p(x)| \leq 1 $، آنگاه : $ |a|+|b|+|c|+|d| \leq 7 $.

Comments

اگر $b=d=0$ آنگاه به سادگی می‌شود دید (با بررسی مقدار تابع در اکسترمم‌هایش) که بیشترین مقدار جمع قدرمطلق $a$ و $c$ زمانی است که یکی‌شان ۳ و دیگری ۴ است ولی علامتشان متفاوت. در این صورت ۷ دقیق‌ترین کران بالا خواهد بود ولی برای زمانی که دو ضریب دیگر ناصفر هستند فعلا کاری نکردم.

Answer 1

بدون اینکه به کلیت مسئله خللی وارد بشه فرض می‌کنیم $a,b \geq 0$ حالا چهار حالت وجود دارد که باید جداگانه بررسی بشه $c \geq 0,d \geq 0 \rightarrow | a | + | b | | + | c | + | d | =a+b+c+d=P(1) \leq 1$ $c \geq 0,d< 0 \rightarrow | a | + | b | + | c | + | d | =a+b+c-d=P(1)-2P(0) \leq 3$ $c< 0,d \geq 0 \rightarrow | a | + | b | | + | c | + | d | =a+b-c+d= \frac{4}{3}P(1)- \frac{1}{3} P(-1)- \frac{8}{3} P( \frac{1}{2} )+ \frac{8}{3} P( \frac{-1}{2} ) \leq 7 $ $c< 0,d< 0 \rightarrow | a | + | b | + | c | + | d | =a+b-c-d= \frac{5}{3} P(1)-4P( \frac{1}{2} )+ \frac{4}{3} P(- \frac{1}{2} ) \leq 7$