برای یک عدد ثابت $p$، چه اعداد حقیقی ای در نابرابری (نامعادلهٔ) $|x|>|p|$ صدق می کنند؟

Question

اگر برای عدد حقیقیِ ثابتِ $p$ای داشته باشیم $|x|>|p|$، آنگاه مطلوب است محدودهٔ ممکن برای عدد حقیقی‌ِ $x$؟

Comments

P عدد ثابته یا متغیر؟ و متغیرها در اعداد حقیقی هستن؟ سوالتون ناقصه.

---

@fardina
p ثابته و x متغیره. و هر دو متعلق به اعداد حقیقی اند.

Answer 1

اگر $|x|> |p|> 0$، در اینصورت داریم $x^2-p^2> 0$. با یافتن ریشه‌ها ($x=\pm|p|$) و تعیین علامت داریم:

$$\begin{array}{c|ccccc} x&&-|p|&&|p|& \\ \hline x^2-p^2&+&0&-&0&+ \end{array}$$ لذا جواب برابر است با $(-\infty , -|p|)\cup (|p|,\infty)$.

Answer 2

زمانیکه $p$ عددی ثابت است، $|p|$، یعنی قدرمطلقش، نیز عددی ثابت است و بعلاوه مثبت. پس اصلا از اول فرض کنید یک عدد مثبت ثابت به شما داده‌اند و اصلا ذهن‌تان را درگیرِ نماد $|p|$ نکنید. اکنون از خود تعریف $|x|$، قدرمطلقِ $x$، برای نابرابری‌تان چه نتیجه‌ای می‌شود؟ این نتیجه می‌شود که خود $x$ یا قرینه‌اش از این عدد مثبت بزرگتر است. اگر خودش از این عدد مثبت بزرگتر باشد بازهٔ این عدد مثبت تا بینهایت را می‌گیرید و اگر قرینه‌اش از این عدد مثبت بزرگتر باشد بازهٔ منفی بینهایت تا منفی این عدد مثبت را می‌گیرید. چون «یا» آورده‌اید پس اجتماع دارید. اکنون همین جمله‌های فارسی را بیایید با نمادهای ریاضی بازگو کنیم.

$$\begin{array}{lll} |x|>|p| & \Longrightarrow & x>|p|\;\vee\;-x>|p|\\ & \Longrightarrow & x>|p|\;\vee\;x< -|p|\\ & \Longrightarrow & x\in x\in (|p|,\infty)\;\vee\;(-\infty,-|p|)\\ & \Longrightarrow & x\in (-\infty,-|p|)\cup (|p|,\infty) \end{array}$$ که در نمادهایمان علامت $\vee$ همان واژهٔ «یا» در منطق است.¹

---

1. البته یای قابل شمول. برای کاربرانی که با انواع «یا»یِ منطقی آشنایی ندارند، دو نوع «یا» داریم. یای قابل شمول یعنی حتی اگر یکی از دو سمتِ «یا» برقرار باشد، نتیجهٔ درست داریم پس اشتراک دو واقعه نیز پذیرفته‌شدنی است. اما نوع دیگر یعنی یای غیرقابل شمول، اشتراک را نمی‌پذیرد برای نمونه وقتی که می‌گوئید «یا کرهٔ جنوبی را دعوت کنید یا کرهٔ شمالی» منظور گوینده این است که یکی از این دو را دعوت کنید ولی نه هر دو را! آما وقتی می‌گوئید «احمد یا من باید حتما حضور داشته باشیم» منظورتان این است که از بین احمد و من حداقل یکی‌مان باید حضور داشته‌باشد، حالت هر دویمان هم مقبول است. ↩︎

Answer 3

اگر $\mid x \mid > \mid y \mid$ پس : $\sqrt[2]{ x^{2} } >\sqrt[2]{ y^{2} }$

و طبق نمودار