با استدلال بازگشتي نشان دهید $ |x+y| < |1+xy|$ هرگاه $|x| < 1$ و $|y|< 1$

Question

اگر $|x| < 1$ و $|y|< 1$ باشد،ثابت كنيد: $ |x+y| < |1+xy|$. از طريق اثبات بازگشتي حل شود.

Answer 1

$$\begin{align}|x+y|< |1+xy|&\iff (x+y)^2 < (1+xy)^2\\ &\iff \require{cancel}x^2+y^2+\cancel{2xy}< 1+x^2y^2+\cancel{2xy}\\ &\iff (1-x^2)(1-y^2)>0\end{align}$$

که عبارت اخیر همواره درست است چرا که $|y|< 1, |x|< 1$ پس $y^2< 1,x^2< 1$ .