برای $x+y+z = 1$ نامساوی $ x^{3} + y^{3} + z^{3} \ \geq \frac{1}{3} ( x^{2} + y^{2} + z^{2} ) $ را اثبات کنید

Question

اعداد مثبت $x,y ,z$ که $x+y+z=1$ مفرضند. ثابت کنید: $$ x^{3} + y^{3} + z^{3} \ \geq \frac{1}{3} ( x^{2} + y^{2} + z^{2} ) $$

Answer 1

روش اول

دو تا بردار $u , t $ رو تعریف میکنیم :

$$t=(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}) \ \ , \ \ u=(x\sqrt{x},y\sqrt{y},z\sqrt{z})$$

حال از نامساوی Cauchy–Schwarz inequality خواهیم داشت :

$$x^2+y^2+z^2 = \left|u\cdot t\right|\leq \|u\|\cdot\|t\|=\sqrt{x+y+z}\sqrt{x^3+y^3+z^3}$$

و همچنین خواهیم داشت :

$$ 3(x^2+y^2+z^2)=(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2 = 1 $$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ x^3+y^3+z^3 \geq (x^2+y^2+z^2)^2 \geq \frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)$$ $ \Box .$

---

روش دوم

دو طرف نامساوی را ضرب در $3$ میکنیم و همچنین سمت راست را ضرب در $(x+y+z)=1$ $$3(x^2+y^2+z^2)\geq (x^2+y^2+z^2)(x+y+z)$$ $$(x-y)(x^2-y^2)+(y-z)(y^2-z^2)+(z-x)(z^2-x^2)\geq 0$$ مشاهده میشود که نابرابری درست است .

$ \Box .$