روش اول
دو تا بردار $u , t $ رو تعریف میکنیم :
$$t=(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}) \ \ , \ \ u=(x\sqrt{x},y\sqrt{y},z\sqrt{z})$$
حال از نامساوی Cauchy–Schwarz inequality
خواهیم داشت :
$$x^2+y^2+z^2 = \left|u\cdot t\right|\leq \|u\|\cdot\|t\|=\sqrt{x+y+z}\sqrt{x^3+y^3+z^3}$$
و همچنین خواهیم داشت :
$$ 3(x^2+y^2+z^2)=(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2 = 1 $$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$ x^3+y^3+z^3 \geq (x^2+y^2+z^2)^2 \geq \frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)$$
$ \Box .$
روش دوم
دو طرف نامساوی را ضرب در $3$ میکنیم و همچنین سمت راست را ضرب در
$(x+y+z)=1$
$$3(x^2+y^2+z^2)\geq (x^2+y^2+z^2)(x+y+z)$$
$$(x-y)(x^2-y^2)+(y-z)(y^2-z^2)+(z-x)(z^2-x^2)\geq 0$$
مشاهده میشود که نابرابری درست است .
$ \Box .$
