Question

اگر $x,y \geq 0$ و $x^3+y^3 \leq x+y$ نشان دهید $x+y \leq 2$

من نامساوی های زیر رو بدست آوردم شاید بدرد بخوره :

$x+y \geq x^2+y^2$

$xy+1 \geq x^2+y^2$

Comments

اگه این نامساوی ها رو به دست آوردی برای توان دوم x+y  از کوشی شوارتز استفاده کن تا مسئله حل بشه.

---

مرسی حل شد .

---

خواهش میکنم.جوابت رو منتشر کن.

Answer 1

چون : $x^3+y^3-2x^2-2y^2+x+y \geq 0$ (اگه تجزیه بشه به این صورت در میاد $x(x-1)^2+y(y-1)^2$ که بزرگتر مساوی صفره ) با استفاده از فرض میتوان نوشت : $2(x+y)-2(x^2+y^2) \geq 0$

$x+y \geq x^2+y^2$

طبق نامساوی کوشی داریم: $(x+y)^2 \leq 2(x^2+y^2) \leq 2(x+y)$

در نتیجه $x+y \leq 2$