Question

اگر $0 \leq x,y \leq 1$ : بیشترین مقدار $x^2y-y^2x$ را بدست آورید .

Answer 1

عبارت برابر است با:

$xy(x-y)$

حداکثر عبارت زمانی اتفاق می افتد که نامنفی باشد که همیشه ممکن است(کافیست مقدار $x$و $y$ را جابه جا کنید.).که چون $x$ و$y$ نامنفی هستند پس $x \ge y$.

به ازای هر $y$ تابع برحسب $x$ اکیدا صعودی است پس حداکثر ان زمانی اتفاق می افتد که $x=1$

حال اگر قرار دهیم $x=1$ باید حداکثر $y(1-y)$ را پیدا کنیم.

حاصل جمع $y$و$1-y$ برابر ۱ است.پس حاکثر حاصلضرب زمانی اتفاق می افتد که برابر باشند.(نتیجه مستقیم نامساوی حسابی-هندسی).

$1-y=y \Rightarrow y=\frac{1}{2}$

پس حداکثر ان برابر است با:

$\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$