سلام
حقیر با فرض اینکه در تایپ سوال دچار اشتباه تایپی شده اید و عبارت را به جای $ (x+y) $ به صورت $(x-y)$تایپ کرده اید؛ حکم زیر را ثابت می کنم:
$$ \forall x,y \in \Re \wedge x,y>0 \wedge x^{3}+ y^{3}=x+y \Rightarrow x^{2}+ y^{2}>1 $$
برهان:
با توجه به اتحاد چاق و لاغر داریم:
$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $$
با توجه به فرض مسئله ($ x^{3}+ y^{3}=x+y $) داریم:
$$ (x+y)=(x+y)(x^2-xy+y^2) $$
با توجه به فرض مسئله ($ x,y $ مثبت هستند)؛ پس مجموعشان هم مثبت است و دو طرف عبارت را بر $x+y$ تقسیم می کنیم:
$$ 1=(x^2-xy+y^2) $$
$$ \Rightarrow x^2+y^2=1+xy $$
با توجه به فرص ($x,y>0$) نتیجه می شود: $ xy>0 $
$$ xy>0 \Rightarrow 1+xy>1 \Rightarrow x^2+y^2>1 $$
حکم اثبات شد. (البته حکم فرضی حقیر)
