Question

فرض کنید

$$a_{1}, a_{2}, a_{3} ,..., a_{n}$$ اعداد حقیقی مثبت باشند نابرابری زیر را ثابت کنید:
$$4 ( \sum _ {i < j} \frac{1}{ a_{i} + a_{j} } )^{2} \leq \binom{n}{2} \sum _ {i < j} \frac{1}{ a_{i} a_{j} }$$

Answer 1

نامساوی کوشی_شوارتز :

$( \sum _{i=1}^nx_iy_i)^2 \leq (\sum _{i=1}^nx_i^2)(\sum _{i=1}^ny_i^2)$

نامساوی میانگین هندسی_حسابی:

$\frac{a_i+a_j}{2} \geq \sqrt{a_ia_j} \equiv ( \frac{2}{a_i+a_j} )^2 \leq \frac{1}{a_ia_j}$

حالا این نامساوی های زیبا را برای دنبالۀ $x=( \frac{1}{a_i+a_j} )_{i< j}$ و دنبالۀ ثابت $y=(1)$ که هر کدام $\binom{n}{2}$ جمله دارند (چرا؟) به کار بگیرید:

$4(\sum_{i< j} \frac{1}{a_i+a_j} )^2 \leq 4(\sum _{i=1}^{ \binom{n}{2} }1^2)(\sum _{i< j}(\frac{1}{a_i+a_j}) ^2)= \binom{n}{2}(\sum _{i< j}(\frac{2}{a_i+a_j}) ^2)$

$= \binom{n}{k} \sum _{i< j} \frac{1}{a_ia_j}$

$\Box$

تساوی چه وقت اتفاق می افتد؟

Comments

وقتی که تمام اعداد حقیقی مثبت داده شده برابر باشند.