برای اعداد مثبت $ a_{i}, b_{i}$ ثابت کنید $\sum_{i=1}^n \frac{a_{i}b_{i}}{a_{i}+b_{i}} \geq \frac{ab}{a+b} $

Question

برای اعداد مثبت $ a_{i}, b_{i}$ با فرض $\sum_{i=1}^n a_{i}=a , \sum_{i=1}^n b_{i}=b $ ثابت کنید: $$\sum_{i=1}^n \frac{a_{i}b_{i}}{a_{i}+b_{i}} \geq \frac{ab}{a+b} $$

Answer 1

این حکم درست نیست مثلا $a_1=a_2=1$ و $b_1=1,b_2=2$ در اینصورت $$\sum_1^2\frac{a_ib_i}{a_i+b_i}=\frac 12+\frac 23=\frac 76=\frac{35}{30}$$ و $$\frac{ab}{a+b}=\frac{2\times 3}{2+3}=\frac{6}{5}=\frac {36}{30} $$