ثابت کنید $4a^{2} + 4b^{2} - ab \geq 30$ به طوری که برای دو عدد حقیقی داریم $a^{4} + b^{4} + a^{2} b^{2} = 60$

Question

برای دو عدد حقیقی $a , b$ داریم $a^{4} + b^{4} + a^{2} b^{2} = 60$ ثابت کنید

$$4a^{2} + 4b^{2} - ab \geq 30$$

Answer 1

$$a^4+b^4+a^2b^2=60\tag{1}$$ $$4a^2+4b^2-ab\geq30\tag{2}$$

از رابطه $(1)$ عبارت $a^2+b^2$ را بدست میاوریم یعنی :

$$(a^2+b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2\\(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=a^4+b^4\\(a^2+b^2)^2-2a^2b^2+a^2b^2=60\\a^2+b^2=\sqrt{60+(ab)^2}\tag{3}$$

حال رابطه $(3)$ را در $(2)$ قرار میدهیم خواهیم داشت :

$$4\sqrt{60+(ab)^2}-ab\geq 30\tag{4}$$

درنتیجه ما باید رابطه $(4)$ را اثبات کنیم برای این کار تعریف میکنیم $u:=ab$

$$4\sqrt{60+(u)^2}-u\geq 30 \\ 16(60+u^2)\geq (30+u)^2$$ $$u^2-4u+4\geq 0\\(u-2)^2 \geq 0 \tag{5}$$

که همواره عبارت $(5)$ برقرار است .

$\Box .$