$$a^4+b^4+a^2b^2=60\tag{1}$$
$$4a^2+4b^2-ab\geq30\tag{2}$$
از رابطه $(1)$ عبارت $a^2+b^2$ را بدست میاوریم یعنی :
$$(a^2+b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2\\(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=a^4+b^4\\(a^2+b^2)^2-2a^2b^2+a^2b^2=60\\a^2+b^2=\sqrt{60+(ab)^2}\tag{3}$$
حال رابطه $(3)$ را در $(2)$ قرار میدهیم خواهیم داشت :
$$4\sqrt{60+(ab)^2}-ab\geq 30\tag{4}$$
درنتیجه ما باید رابطه $(4)$ را اثبات کنیم برای این کار تعریف میکنیم $u:=ab$
$$4\sqrt{60+(u)^2}-u\geq 30 \\ 16(60+u^2)\geq (30+u)^2$$
$$ u^2-4u+4\geq 0\\(u-2)^2 \geq 0 \tag{5}$$
که همواره عبارت $(5)$ برقرار است .
$ \Box .$
