فرمولهای پایه
برای مخروط قائمه با شعاع قاعده \(r\)، ارتفاع \(h\) و فاصله مایل (مولِد)
$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$
داریم:
- حجم:
$\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.
- مساحت جانبی:
$ \displaystyle S=\pi r l$.
---
تبدیل نابرابری به تابعی از
$r,h,l$
چپ نابرابری:
$
\left(\frac{6V}{\pi}\right)^{2}
=\left(\frac{6\cdot\frac{1}{3}\pi r^{2}h}{\pi}\right)^{2}
=(2r^{2}h)^{2}=4r^{4}h^{2}.
$
راست نابرابری:
$
\left(\frac{2S}{\pi\sqrt{3}}\right)^{3}
=\left(\frac{2\pi r l}{\pi\sqrt{3}}\right)^{3}
=\left(\frac{2rl}{\sqrt{3}}\right)^{3}
=\frac{8r^{3}l^{3}}{3\sqrt{3}}.
$
بنابراین نابرابری معادل است با
$
4r^{4}h^{2}\le \frac{8r^{3}l^{3}}{3\sqrt{3}}.
$
با تقسیم بر
$r^{3}>0$
و سادهسازی میشود
$
r h^{2}\le \frac{2}{3\sqrt{3}}\, l^{3}.
$
