Question

فرض کنید اعداد xایy, و z برای حداقل دو مقدار n طبیعی در فرض زیر صدق کنند:

$$ \sqrt{ \overline{xx...x}- \overline{yy...y} } = \overline{zz...z} $$

به طوری که تعداد xها برابر 2n و تعدادyها و zها برابر n باشد. همه مقادیر n را بیابید.

Answer 1

$ \overline{xx...x}=x \times \overline{11...1}=x(1+10+10^2+...+10^{2n-1})=x \frac{10^{2n}-1}{9} $,

$\overline{yy...y}=y \frac{10^{n}-1}{9},\overline{zz...z}=z \frac{10^{n}-1}{9}$

$ \Rightarrow \overline{xx...x} - \overline{yy...y}= \overline{zz...z} ^2 \Rightarrow x \frac{10^{2n}-1}{9}-y \frac{10^{n}-1}{9}=(z \frac{10^{n}-1}{9})^2 $

$\Rightarrow 9x(10^{2n}-1)-9y(10^n-1)=z^2(10^n-1)^2$

$ \Rightarrow 9x(10^{n}-1)(10^n+1)-9y(10^n-1)=z^2(10^n-1)^2$

$ \Rightarrow 9x(10^n+1)-9y=z^2(10^n-1),(10^n-1 \neq 0)($زیرا$).$

$ \Rightarrow (z^2-9x)10^n=z^2+9x-9y \Rightarrow 10^n|(z^2+9x-9y)$

حالا توجه کنید که $z^2+9x-9y \leq 9^2+9 \times 9-9 \times 1=153 $ بنابراین $n=1 \vee 2$.

$if:n=1 \Rightarrow 10|(z^2+9x-9y) \Rightarrow z^2+9x-9y=0 \vee 10 \Rightarrow z^2-9x=0 \vee 1$

حالا اگر همۀ جوابها را بررسی کنیم فقط جواب $(1,2,3)$ به دست می آید یعنی: $ \sqrt{11-2} =3$.

$if:n=2 \Rightarrow z^2+9x-9y=0\vee 100 \Rightarrow z^2-9x=0 \vee 1$

حالا اگر در این حالت هم همۀ جوابها را بررسی کنیم به $(1,2,3)$ و $(7,3,8)$ می رسیم یعنی:

$ \sqrt{1111-22} =33, \sqrt{7777-33} =88$

بنابر این $n=1 \vee 2$ و معادله سه جواب د1رد.

$ \Box $