به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
459 بازدید
در دبیرستان توسط mansour (784 امتیاز)
ویرایش شده توسط Mohammad.V

آیا عدد صحیح $z$ وجود دارد که آن را بتوان به روش های مختلف به صورت :

$$z=x!+y!$$

نوشت که $x,y$ اعداد طبیعی با شرط $x \leq y$ باشند؟

مرجع: المپیاد ریاضی چکسلواکی

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط Mohammad.V (534 امتیاز)

نشان می دهیم چنین چیزی ناممکن است. فرض کنید عدد طبیعی $z $ را بتوان به صورت $z=x!+y!$ نمایش داد. حال در نظر بگیرید وجود دارد $t<x$ و $y<w$ به طوری که $z=t!+w!$ پس می‌توان نوشت: $z=x!(1+(x+1)...y))=t!(1+(t+1)...(x+1)...w))$ اما چنین چیزی ناممکن است؛ زیرا عبارت سمت چپ حتما یک عامل طبیعی $x$ (و نه الزاما اوّل) بیشتر از سمت راست دارد و حتی عبارت سمت راست و در داخل پرانتز نیز بر $ x $ بخش پذیر نیست و یک باقی مانده دارد.

ریاضیدان، کسی است که شباهت ها را بین قضایا دریابد. ریاضیدان بهتر کسی است که بتواند شباهت بین برهان ها را ببیند. بهترین ریاضیدان کسی است که بتواند به شباهت بین نظریه ها توجه کند. و می توان تصور کرد که ریاضیدان نهایی کسی است که بتواند شباهت بین شباهت ها را مشاهده کند.
...