آیا عدد صحیح z وجود دارد که آن را بتوان به روش مختلف به صورت $$z=x!+y!$$ نوشت که x,y اعداد طبیعی با شرط $$x \preceq y$$ باشند.

Question

آیا عدد صحیح $z$ وجود دارد که آن را بتوان به روش های مختلف به صورت :

$$z=x!+y!$$

نوشت که $x,y$ اعداد طبیعی با شرط $x \leq y$ باشند؟

Answer 1

نشان می دهیم چنین چیزی ناممکن است. فرض کنید عدد طبیعی $z $ را بتوان به صورت $z=x!+y!$ نمایش داد. حال در نظر بگیرید وجود دارد $t<x$ و $y<w$ به طوری که $z=t!+w!$ پس می‌توان نوشت: $z=x!(1+(x+1)...y))=t!(1+(t+1)...(x+1)...w))$ اما چنین چیزی ناممکن است؛ زیرا عبارت سمت چپ حتما یک عامل طبیعی $x$ (و نه الزاما اوّل) بیشتر از سمت راست دارد و حتی عبارت سمت راست و در داخل پرانتز نیز بر $ x $ بخش پذیر نیست و یک باقی مانده دارد.