اول از همه، معادلهٔ عمومی منحنی که به صورت $y=x^3+ax^2+bx+c$ داده شده محاسبات را پیچیده میکند، بنابراین بهترین کار این است که با یک تغییر متغیر و انتقال دستگاه مختصات، جملات توان دو و عدد ثابت را حذف کنیم تا معادله به فرم ساده و کانونیکال $Y=X^3+pX$ تبدیل شود. این فرم جدید یک ویژگی بسیار مهم دارد و آن هم تقارن مرکزی نمودار نسبت به مبدأ مختصات $(0,0)$ است که پایهٔ اصلی استدلال ما خواهد بود. طبق صورت مسئله، میدانیم که «دقیقاً یک مربع» وجود دارد که رئوسش روی این منحنی قرار میگیرند. با توجه به تقارن نمودار، اگر مرکز این مربع جایی غیر از مبدأ مختصات باشد، قرینهٔ آن مربع نسبت به مبدأ هم یک مربع دیگر روی منحنی خواهد بود و در این صورت ما دو مربع متمایز خواهیم داشت که با فرض یکتایی مربع در تضاد است؛ بنابراین نتیجه میگیریم که مرکز این مربع یکتا الزاماً باید دقیقاً روی مبدأ مختصات قرار داشته باشد.
حالا که مطمئن شدیم مرکز مربع مبدأ مختصات است، اگر مختصات یکی از رئوس را $(u,v)$ در نظر بگیریم، رأس مجاور آن با چرخش ۹۰ درجه حول مبدأ به صورت $(-v,u)$ به دست میآید. چون هر دو نقطه باید روی منحنی $Y=X^3+pX$ باشند، مختصات آنها باید در معادله صدق کند که منجر به تشکیل یک دستگاه معادلات میشود: معادلهٔ اول $v=u^3+pu$ و معادلهٔ دوم $u=-v^3-pv$ است. برای حل این دستگاه، از یک تکنیک جبری استفاده میکنیم و متغیر کمکی $w$ را به صورت $v=uw$ تعریف میکنیم. با جایگذاری این رابطه در معادلهٔ اول و فرض اینکه $u$ مخالف صفر است، به رابطهٔ $u^2=w-p$ میرسیم. حال اگر این مقادیر را در معادلهٔ دوم جایگذاری و سادهسازی کنیم، به یک معادلهٔ درجه چهار برای $w$ میرسیم که فرم آن $w^4-pw^3+pw+1=0$ است. از آنجا که این یک معادلهٔ بازگشتی است، میتوانیم طرفین را بر $w^2$ تقسیم کنیم و با استفاده از تغییر متغیر هوشمندانهٔ $z=w-\frac{1}{w}$، آن را به یک معادلهٔ درجه دوم بسیار سادهتر تبدیل کنیم: $z^2-pz+2=0$. نکتهٔ جالب و کلیدی اینجاست که با انجام عملیات جبری روی روابط قبلی، میتوان نشان داد که مجذور فاصلهٔ رأس تا مرکز مربع ($r^2$) رابطهای مستقیم و ساده با $z$ دارد و برابر با $r^2=z-2p$ است.
در این مرحله دوباره از شرط مهم «یکتایی» مربع استفاده میکنیم. ریشههای معادلهٔ درجه دوم $z$ مستقیماً اندازهٔ مربع را تعیین میکنند؛ اگر این معادله دو ریشهٔ متمایز داشته باشد، ما دو شعاع مختلف و در نتیجه دو مربع متفاوت خواهیم داشت که خلاف فرض مسئله است. بنابراین برای داشتن تنها یک مربع، این معادله باید ریشهٔ مضاعف داشته باشد، یعنی دلتای آن باید صفر شود: $p^2-8=0$ که نتیجه میدهد $p$ برابر با مثبت یا منفی رادیکال ۸ است. برای انتخاب علامت صحیح $p$، باید به فرمول شعاع دقت کنیم. در حالت ریشهٔ مضاعف، مقدار ریشه برابر با $z=\frac{p}{2}$ است و با جایگذاری در رابطهٔ شعاع، مقدار $r^2=-\frac{3p}{2}$ به دست میآید. چون توان دوم شعاع همواره باید مثبت باشد، پس $p$ حتماً باید منفی انتخاب شود، یعنی $p=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$. با این مقدار، مجذور شعاع مربع برابر با $3\sqrt{2}$ محاسبه میشود. در نهایت، چون در هندسه میدانیم که مجذور طول ضلع مربع ($L^2$) دو برابر مجذور شعاع است، مقدار $L^2=6\sqrt{2}$ یا همان $\sqrt{72}$ حاصل میشود و با جذر گرفتن از طرفین، طول ضلع مربع دقیقاً برابر با $\sqrt[4]{72}$ اثبات میگردد.
