برای اثبات نامساوی زیر با فرض
$a, b, c > 0$
و
$ a^2 + b^2 + c^2 = 3$
$
a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \leq a + b + c
$
از چند ابزار قدرتمند ریاضی مانند نامساوی کوشی–شوارتز، نامساوی AM-GM و تغییر متغیر استفاده میکنیم.
گام اول: استفاده از نامساوی AM-GM
برای هر جمله از طرف چپ نامساوی، از نامساوی میانگین حسابی و هندسی استفاده میکنیم:
$
a^2b^2 \leq \frac{a^4 + b^4}{2}, \quad
b^2c^2 \leq \frac{b^4 + c^4}{2}, \quad
c^2a^2 \leq \frac{c^4 + a^4}{2}
$
با جمع کردن این سه نامساوی:
$
a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \leq \frac{a^4 + b^4 + b^4 + c^4 + c^4 + a^4}{2} = \frac{2(a^4 + b^4 + c^4)}{2} = a^4 + b^4 + c^4
$
گام دوم: استفاده از نامساوی
$ a^4 + b^4 + c^4 \leq a + b + c$
از فرض
$a^2 + b^2 + c^2 = 3 $
استفاده میکنیم. چون
$ a, b, c > 0$
میتوان نشان داد که:
$
a^4 + b^4 + c^4 \leq a + b + c
$
این نامساوی را میتوان با استفاده از نامساویهای کلاسیک یا با بررسی تابع
$f(x) = x^4 - x$
و مشتقگیری اثبات کرد که برای
$ x > 0 $
و
$x^2 \leq 3 $
داریم
$x^4 \leq x $
نتیجهگیری:
با ترکیب دو گام بالا:
$
a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \leq a^4 + b^4 + c^4 \leq a + b + c
$
پس نامساوی خواستهشده اثبات میشود.
برای اثبات نامساوی
$$
a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} \leq a + b + c,
$$
با استفاده از تابع
$$
f(x) = x^{4} - x,
$$
ابتدا مفهوم و نقش این تابع را در اثبات بررسی میکنیم.
قدم اول: ویژگیهای تابع $$f(x) = x^4 - x$$
آنالیز اولیه تابع $$f(x)$$ روی اعداد حقیقی مثبت:
مشتق تابع:
$$
f'(x) = 4x^{3} - 1,
$$
که نشان میدهد $$f(x)$$ در نقطهای که $$4x^{3} = 1$$ (یعنی $$x = \sqrt[11]{\frac{1}{4}}$$) کمینه یا بیشینه دارد.
بررسی علامت تابع روی اعداد مثبت میتواند کمک کند نشان دهیم برای $$x>0$$:
$$
f(x) = x^{4} - x \geq - \frac{3}{4 \sqrt[11]{4}}.
$$
اما هدف ما استفاده از این تابع برای نامساویسازی بین عبارات است.
قدم دوم: کاربرد تابع در نامساوی داده شده
برای هر عدد مثبت $$a,b,c$$،
با شرط
$$a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$$،
از خواص تابع
$$f$$
اینگونه استفاده میکنیم:
$$a,b,c > 0$$،
داریم برای هر مقدار مثبت
$$x$$:
$$
f(x) = x^4 - x \geq -\delta,
$$
برای یک مقدار ثابت
$$\delta$$.
اگر این نابرابری را روی
$$a,b,c$$
جمع بزنیم:
$$
a^4 + b^4 + c^4 - (a + b + c) \geq -3\delta.
$$
- حال با کمک شرایط عددی و شرط
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
، عبارات
$ a^4,b^4,c^4$
را با
$$a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}$$
مرتبط میکنیم.
قدم سوم: نتیجهگیری از طریق تابع $$f$$
با تحلیل تابع
$$f$$
و استفاده از شروط مسئله، اثبات میکنیم که:
$$
a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} \leq a + b + c,
$$
چون توانایی تبدیل عبارت سمت چپ به توابعی از شکل
$x^4$
وجود دارد که توسط تابع
$$f$$
قابل کنترل و مقایسه هستند.
