اثبات نابرابری محصول با شرط جمع برابر ۴
می‌خواهیم برای هر
$ a,b,c,d \ge 0$
با
$a+b+c+d=4$
نشان دهیم:
$
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)\;\ge\;(1+a)(1+b)(1+c)(1+d).
$
گام ۱: یک کران بالا برای طرف راست
تابع
$\ln(1+x)$
روی
$[0,\infty
)$
اکیداً مقعر است. بنابراین با نابرابری جنسن داریم:
$
\ln\big((1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\big)
=\sum_{t\in\{a,b,c,d\}}\ln(1+t)
\le 4\,\ln\!\Big(1+\tfrac{a+b+c+d}{4}\Big)
=4\ln(2),
$
و لذا
$
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\;\le\;2^4=16.
$
برابری وقتی رخ می‌دهد که
$a=b=c=d=1$
گام ۲: یک کران پایین مفید برای طرف چپ
با نابرابری RMS–AM برای هر
$x\ge 0 $
داریم
$
\sqrt{\frac{1+x^2}{2}}\;\ge\;\frac{1+x}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
1+x^2\;\ge\;\frac{(1+x)^2}{2}.
$
این را برای هر چهار متغیر ضرب می‌کنیم:
$
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)
\;\ge\;
\frac{(1+a)^2(1+b)^2(1+c)^2(1+d)^2}{2^4}
=
\frac{\big((1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\big)^2}{16}.
$
جمع‌بندی نتیجه
از گام ۱ می‌دانیم
$(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\le 16 $
بنابراین
$
\frac{\big((1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\big)^2}{16}
\;\le\;
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d).
$
با توجه به گام ۲ که
$
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)\;\ge\;\frac{\big((1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\big)^2}{16},
$
به دست می‌آید
$
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)\;\ge\;(1+a)(1+b)(1+c)(1+d).
$
برابری دقیقاً در حالت
a=b=c=d=1
برقرار است.
