Question

چند عدد اول p وجود دارد به طوری که عبارت $2+ p^{p+1} $ عدد اول باشد: a)1 b)2 c)3 d)0 e)بینهایت

عدداولp تنها عدد صحيح که دو مقسوم علیه دارد.

Comments

باید
$p$
عدد اول فرد باشد. از طرفی چون
$p+1$
زوج است؛ داریم:

$p^{p+1}+2 \equiv p^{2k}+2 \text{   (mod 3)}$

که اگر $p$ عددی اول و مخالف 3 باشد؛ عبارت بالا بر ۳ بخش پذیر خواهد شد زیرا اعداد اول مخالف ۳ به پیمانه ۳ برابر با ۱ یا منفی ۱ هستند. اما به ازای $p=3$ حاصل عبارت برابر با 83 خواهد بود که عددی اول است. پس فقط یک عدد اول موجود است.

Answer 1

باید $p$ عدد اول فرد باشد. از طرفی چون $p+1$ زوج است؛ داریم:

$p^{p+1}+2 \equiv p^{2k}+2 \text{ (mod 3)}$

که اگر $p$ عددی اول و مخالف 3 باشد؛ عبارت بالا بر ۳ بخش پذیر خواهد شد زیرا اعداد اول مخالف ۳ به پیمانه ۳ برابر با ۱ یا منفی ۱ هستند. اما به ازای $p=3$ حاصل عبارت برابر با 83 خواهد بود که عددی اول است. پس فقط یک عدد اول موجود است.