با استفاده از استقرای ریاضی نتیجه می شود برای هر $A_{1},A_{2},...,A_{m}\in P(X)$ داریم :
$$f(A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{m})=f(A_{1})+f(A_{2})+...+f(A_{m})$$
با توجه به اینکه $X= \bigcup_{i=1}^n \lbrace i\rbrace $ پس داریم :
$$f(X)= \sum_{i=1}^n f( \lbrace i\rbrace ) $$
اما $f(X)=0$ یا $f(X)=1$ پس دو حالت داریم :
حالت اول : $ f(X)=0 $
در این صورت به ازای هر $i=1,2,...,n$ داریم $ f( \lbrace i\rbrace )=0 $ . حال فرض کنید $A\in P(X)$ پس $A= \bigcup_{i\in A} \lbrace i\rbrace $ بنابراین داریم :
$$f(A)= \sum_{i\in A} f( \lbrace i\rbrace ) =\sum_{i\in A}0=0$$
پس $f=0$ . یعنی $f$ تابع ثابت صفر است .
حالت دوم : $f(X)=1$
در این صورت به ازای یک $i_{0}\in X$ داریم $f(i_{0})=1$ و به ازای بقیه $i$ ها داریم $f(i)=0$ . حال تابع $f_{i_{0}}$ را به صورت زیر تعریف می کنیم :
$$ \forall A\in P(X):\ \ \ \ f_{i_{0}}(A)= \begin{cases}1 & i_{0}\in A\\0 & i_{0}\in A^c\end{cases} $$
به راحتی می توان نشان داد $f_{i_{0}}$ دارای خاصیت مسئله می باشد یعنی به ازای هر $A,B\in P(X)$ داریم :
$$f_{i_{0}}(A \cup B)=f_{i_{0}}(A)+f_{i_{0}}(B)$$
حال چون $i_{0}$ هر یک از اعداد $1,2,...,n$ می تواند باشد پس $n$ تابع از این نوع داریم :
$$f_{1},f_{2},...,f_{n}$$
که به همراه تابع ثابت صفر ( در حالت اول ) تعدادشان $n+1$ است .
