Question

اگر مقدار عددی مشتق n اُم تابع f در نقطه a را به صورت $f^{(n)}(a)$ نشان دهیم، تابعی نظیر fبیابید به طوری که $f^{(n)}(1)=n$. طراحی سوال از خودم.

Answer 1

می توانید تابع $f(x)=(x-1)e^{x-1}$ را در نظر بگیرید.

توضیح در مورد اینکه چطوری این تابع را پیدا کردم:

ابتدا باید در مورد تابعی فکر کنیم که همیشه مشتق پذیر باشد. همچنین در هر مرحله مشتق را در یک نقطه خاص حساب می کنیم (مثلا در صفر بجای یک در مساله شما) یک واحد اضافه شود. من اینطور فکر کردم که اگر تابعی داشته باشیم که در شرط $y'=e^x+y$ صدق کند آنگاه قسمت $e^x$ شرط اضافه شدن یک واحد را در هر مرحله تضمین می کند. پس کافی است که این معادله دیفرانسیلی را حل کنیم. برای حل داریم

$$y'-y=e^x$$ با ضرب کردن طرفین در $e^{-x}$ داریم $$e^{-x}y'-e^{-x}y=1$$ یا $$(e^{-x}y)'=1$$ که نتیجه می دهد $e^{-x}y=x+c$ یا $y=xe^x+ce^x$ برای یک $c$ ثابت. و شرط $f'(0)=1$ نتیجه می دهد که $c=0$ یعنی تابعی که دنبال آن هستیم به صورت $f(x)=xe^x$ است. برای اینکه شرط شما برآورده شود انتقال تابع را در نظر میگیریم.