به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
69 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط good4us (7,067 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

اگر مقدار عددی مشتق n اُم تابع f در نقطه a را به صورت $ f^{(n)}(a) $ نشان دهیم، تابعی نظیر fبیابید به طوری که $ f^{(n)}(1)=n $. طراحی سوال از خودم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina (17,315 امتیاز)
انتخاب شده توسط good4us
 
بهترین پاسخ

می توانید تابع $f(x)=(x-1)e^{x-1}$ را در نظر بگیرید.

توضیح در مورد اینکه چطوری این تابع را پیدا کردم:

ابتدا باید در مورد تابعی فکر کنیم که همیشه مشتق پذیر باشد. همچنین در هر مرحله مشتق را در یک نقطه خاص حساب می کنیم (مثلا در صفر بجای یک در مساله شما) یک واحد اضافه شود. من اینطور فکر کردم که اگر تابعی داشته باشیم که در شرط $y'=e^x+y$ صدق کند آنگاه قسمت $e^x$ شرط اضافه شدن یک واحد را در هر مرحله تضمین می کند. پس کافی است که این معادله دیفرانسیلی را حل کنیم. برای حل داریم $$y'-y=e^x$$ با ضرب کردن طرفین در $e^{-x}$ داریم $$e^{-x}y'-e^{-x}y=1$$ یا $$(e^{-x}y)'=1$$ که نتیجه می دهد $e^{-x}y=x+c$ یا $y=xe^x+ce^x$ برای یک $c$ ثابت. و شرط $f'(0)=1$ نتیجه می دهد که $c=0$ یعنی تابعی که دنبال آن هستیم به صورت $f(x)=xe^x$ است. برای اینکه شرط شما برآورده شود انتقال تابع را در نظر میگیریم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...