شما میخواهید تابعی بیابید که برای هر عددِ حسابی (صفر یا طبیعی) $n$ داشتهباشید $f^{(n)}(1)=(-1)^n$. خب اگر به دنبال یک تابع هموار (از هر مرتبه مشتقپذیر) هستید چرا به بسطِ تیلور نگاه نکنیم؟ بسط تیلور تابعتان در نقطهٔ $x=1$ برابر است با $\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}(x-1)^n$ نه؟ توجه کنید که توانهای $x-1$ باعث میشوند که وقتی که از این سری مشتقِ $n$اُم میگیرد، بعد از جایگذاریِ $x=1$، تمام جملهها به جز جملهٔ نخست صفر شوند و وجودِ $n!$ در مخرج نیز ضریبِ افزودهای که از توانها در مشتقگرفتن ایجاد شدهاست را خنثی میکند.
بسطِ تیلور تابع نمایی در $x=0$ یکی از بسطهایی است که احتمالا باید همیشه به ذهنتان باشد (نیازی به حفظ کردن نیست ولی چون خیلی به کارتان میآید اگر زیاد تمرین حل کردهباشید احتمالا سریعا دمدستتان هست بدون نیاز به فکر کردن).
$$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$$
اما دو چیز کم است، توانهای منفی یک و توانهای $x-1$. بیایید مرحله به مرحله در فرمول ظاهرشان کنیم. برای منفی یک چه کنیم؟ چه میشود اگر در رابطهٔ بالا به جای $x$، $-x$ جایگذاری کنیم؟
$$e^{(-x)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-x)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^n$$
که سمت چپ $e^{-x}$ است. اکنون چه میشود اگر در رابطهٔ جدید به جای $x$، $x-1$ بگذاریم؟
$$e^{-(x-1)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}(x-1)^n$$
سمت راست رابطهای که میخواستید نیست؟ سمت چپ هم که برابر است با رابطهای که آقای @fardina دادند، یعنی $e^{1-x}$.
اگر مشتقپذیری از هر مرتبهای در سایر نقطههای این تابع برایتان مهم نیست، میتوانید خیلی راحت به شکل تابعِ چندضابطهای تابعهای دیگری بسازید که در همسایگی ۱ با این تابع برابر هستند ولی در بقیهٔ دامنه متفاوت هستند.
