تابع f مشتق پذیر بوده ، طبق اطلاعات صورت مسئله نشان دهید 1=(f'(x1)f'(x2

Question

فرض کنید تابع f : [0,1]→[0,1] مشتق پذیر بوده و تابع مشتق اول آن پیوسته باشد و f(0)=0 و f(1)=1 . نشان دهید x1 و x2 عضو [0,1] وجود دارند به طوری که داریم : 1=(f'(x1)f'(x2

Comments

تایپ سوال خوب نیست.بعضی قسمت ها نامشخص است.

Answer 1

تابع $g$ را به صورت زیر تعریف کنید:

$g:[0,1] \longrightarrow [0,1],g(x)=f(x)-x$

واضح است که:

$g(0)=f(0)-0=0-0=0$ و $g(1)=f(1)-1=1-1=0$

بنابه قضیه رل یک عضو مانند $c$ در بازه $(a,b)$ موجود است که:

$ g' (c)=0 \Rightarrow f' (c)-1=0 \Rightarrow f' (c)=1$

حال اگر قرار دهیم: $x_1=x_2=c$ اثبات کامل است.

$ \Box $

در ضمن نیازی به پیوستگی مشتق هم نیست.

Answer 2

طبق قضیه مقدار میانگین مقدار $c \in [0,1]$ وجود دارد که :

$ \frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1=f'(c) $ پس x1=x2=c چون $f'^2(c)=1$