دامنه ی مشتق تابع F(x)=|x²-1|-2|x-1|-2|x+1|

Question

با سلام دامنه ی مشتق این تابع چجوری بدست میاد؟

$F(x)=|x²-1|-2|x-1|-2|x+1| $

من بازه بندی کردم تابع رو و مشتق هر کدوم از بازه ها رو بدست اوردم ولی متوجه نشدم که مشتق چه تاثیری روی دامنه تابع داشت ؟ مثلا برای $x \geq 1$ , مشتق را $2x-4$ بدست اوردم اما اینکه اگر $x \leq 1$ چه تغییری میکنه متوجه نمیشم . ممنون از راهنماییتون

Answer 1

برای یافتن دامنهٔ مشتق تابع $$ F(x) = |x^2 - 1| - 2|x - 1| - 2|x + 1| $$، ابتدا نقاط بحرانی داخل قدرمطلق‌ها را شناسایی کرده و تابع را در بازه‌های مختلف تحلیل می‌کنیم:

نقاط بحرانی:

• $ x = -1 $ و $ x = 1 $ (نقاط صفر شدن عبارات داخل قدرمطلق‌ها).

بازه‌بندی و مشتق‌گیری:

1. بازهٔ $ x < -1 $:
   $F(x) = x^2 + 4x - 1 \Rightarrow F'(x) = 2x + 4$

2. بازهٔ $ -1 \leq x \leq 1 $:
   $F(x) = -x^2 - 3 \Rightarrow F'(x) = -2x$

3. بازهٔ $ x > 1 $:
   $F(x) = x^2 - 4x - 1 \Rightarrow F'(x) = 2x - 4$

بررسی نقاط بحرانی:

• در $ x = -1 $:

  • حد چپ: $$ F'(-1^-) = 2(-1) + 4 = 2 $$
  • حد راست: $$ F'(-1^+) = -2(-1) = 2 $$
  • مشتق‌پذیر است و $ F'(-1) = 2 $.

• در $ x = 1 $:

  • حد چپ: $$ F'(1^-) = -2(1) = -2 $$
  • حد راست: $$ F'(1^+) = 2(1) - 4 = -2 $$
  • مشتق‌پذیر است و $ F'(1) = -2 $.

نتیجه‌گیری:

تابع $ F(x) $ در تمام نقاط اعداد حقیقی مشتق‌پذیر است، زیرا در نقاط بحرانی $ x = -1 $ و $ x = 1 $، مشتق از دو طرف برابر است. بنابراین، دامنهٔ مشتق $ F'(x) $ تمام اعداد حقیقی ($ \mathbb{R} $) می‌باشد.

$$ \boxed{\mathbb{R}} $$

Comments

سلام.
جواب ایراد دارد.تابع در نقاط منفی و مثبت یک مشتق پذیر نیست.

---

@قاسم+شبرنگ با سلام. ممنون از توجه شما.
بنده نمودار تابع را هم بررسی کردم. مشکلی ندارد. تابع در $\pm1$ مشتق‌پذیر می‌باشد.

---

سلام.
حق با شماست اصلاح شد.من در تعریف به جای تابع مشتق را به کار برده بودم.

Answer 2

برای بازۀ $(- \infty ,-1)$ تابع به صورت زیر است:

$F(x)=x^2-1+2(x-1)+2(x+1)=x^2+4x-1 \Rightarrow F'(x)=2x+4$

برای بازۀ $(-1,1)$ داریم:

$F(x)=-(x^2-1)+2(x-1)-2(x+1)=-x^2-3 \Rightarrow F'(x)=-2x$

و برای بازۀ $(1,+ \infty )$ داریم:

$F(x)=x^2-1-2(x-1)-2(x+1)=x^2-4x-1 \Rightarrow F'(x)=2x-4$

حالا چون در طرف راست و چپ نقاط $-1,1$ ضابطه تابع فرق می کند باید مشتق ها را به کمک تعریف مستقیم بررسی کنیم:

$F'_-(-1) = \lim_{x\to -1^-} \frac {F(x)-F(-1)}{x-(-1)} = \lim_{x\to -1^-} \frac{x^2+4x-1-(-4)}{x+1} = \lim_{x\to -1^-} \frac {x^2+4x+3}{x+1}$

$=\lim_{x\to -1^-} \frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=\lim_{x\to -1^-} (x+3)=-1+3=2$

$F'_+(-1)=\lim_{x\to -1^+} \frac{-x^2-3-(-4)}{x-(-1)} $

$=\lim_{x\to -1^+} \frac{-x^2+1}{x+1}$

$=\lim_{x\to -1^+} \frac{-(x-1)(x+1)}{x+1} $

$=\lim_{x\to -1^+}(-x+1)=2 $

$F'_+(1)= \lim_{x\to 1^+} \frac{-x^2-3-(-4)}{x-1}=$

$ \lim_{x\to 1^+} \frac{-x^2+1}{x-1} $

$= \lim_{x\to 1^+} \frac{-(x-1)(x+1)}{x-1} $

$=\lim_{x\to 1^+}(-(x+1))$

$=-2 $

$F'_+(1)=\lim_{x\to 1^+} \frac{x^2-4x-1-(-4)}{x-1}$

$ \lim_{x\to 1^+} \frac{x^2-4x+3}{x-2} $

$\lim_{x\to 1^+} \frac{(x-1)(x-3)}{x-1} =\lim_{x\to 1^+}(x-3)=-2$

پس تابع در نقاط $-1,1$ نیز مشتق پذیر ایست

$ \Box $

Comments

لطفاً تایپ ریاضی‌تان را تصحیح کنید. ناخوانا می‌باشد.
مطمئنید که تابع در آن نقاط $\pm1$ مشتق‌پذیر نیست؟

---

سلام.من تایپ ریاضی را بلدم.در قسمت پایین تایپ مشکلی ندارد اما بعد از ارسال مشکل دارد.تابع مشتق پذیر است.اصلاح شد.