قرار دهید $g(x)=f^2(x)+f^2(2-x)$. حال داریم:
$$ (1) g'(x)=2f(x)f'(x)-2f(2-x)f'(2-x)$$
با توجه به فرض سوال داریم:
$$f'(2-x)=f(x) \Rightarrow if:x \rightarrow (2-x) \Longrightarrow f(2-x)=f'(x)$$
بنابرین:
$$f(2-x)f'(2-x)=f(x)f'(x)$$
از این رابطه و رابطه ی $(1)$ نتیجه میشود همواره $g'(x)=0$. پس $g(x)$ همواره مقدار ثابتی است. بنابراین:
$$ g(x)=g(1)=f^2(1)+f^2(1)=2f^2(1)=2f'^2(1)=8$$
